東京工業大学 2005年度理系数学第1問解答・解説

問題

$e$ を自然対数の底とし，数列 ${a_{n}}$ を $a_{n} = \int_{1}^{e} (lo g x)^{n} d x$ $(n = 1, 2, \dots)$ で定義する。

(1) $n ≧ 3$ のとき，漸化式 $a_{n} = (n - 1) (a_{n - 2} - a_{n - 1})$ を示せ。

(2) $n ≧ 1$ に対し $a_{n} > a_{n + 1} > 0$ であることを示せ。

(3) $n ≧ 2$ のとき，次の不等式が成立することを示せ。

a_{2 n} < \frac{3 \cdot 5 \dots ( 2 n - 1 )}{4 \cdot 6 \dots ( 2 n )} (e - 2)

出典：東京工業大学 2005年度前期理系第1問

方針

まず $t = lo g x$ とおき， $a_{n} = \int_{0}^{1} e^{t} t^{n} d t$ に直す。(1)は $e^{t} t^{n - 1} (1 - t)$ を微分して積分する。(2)は $0 < t < 1$ で $t^{n} > t^{n + 1} > 0$ であることから従う。(3)は (1) と (2) を組み合わせて $a_{2 n} < \frac{2 n - 1}{2 n} a_{2 n - 2}$ を作り，これを繰り返す。初期値 $a_{2} = e - 2$ は部分積分で求める。

解答

(1)

$t = lo g x$ とおくと $d x = e^{t} d t$ であり， $x = 1, e$ はそれぞれ $t = 0, 1$ に対応する。したがって $a_{n} = \int_{0}^{1} e^{t} t^{n} d t$ である。 $n ≧ 3$ のとき $\frac{d}{d t} {e^{t} t^{n - 1} (1 - t)} = e^{t} {(n - 1) t^{n - 2} (1 - t) - t^{n}}$ であり， $e^{t} t^{n - 1} (1 - t)$ は $t = 0, 1$ でともに $0$ である。よって

0 = (n - 1) \int_{0}^{1} e^{t} (t^{n - 2} - t^{n - 1}) d t - \int_{0}^{1} e^{t} t^{n} d t

となるから， $a_{n} = (n - 1) (a_{n - 2} - a_{n - 1})$ である。

(2)

$0 < t < 1$ では $t^{n} > t^{n + 1} > 0$ であり， $e^{t} > 0$ である。したがって

a_{n} - a_{n + 1} = \int_{0}^{1} e^{t} (t^{n} - t^{n + 1}) d t > 0, a_{n + 1} = \int_{0}^{1} e^{t} t^{n + 1} d t > 0

である。ゆえに $a_{n} > a_{n + 1} > 0$ が成り立つ。

(3)

(1)を $2 n$ に適用すると $a_{2 n} = (2 n - 1) (a_{2 n - 2} - a_{2 n - 1})$ である。(2)より $a_{2 n - 1} > a_{2 n}$ だから $a_{2 n} < (2 n - 1) (a_{2 n - 2} - a_{2 n})$ となり， $2 n a_{2 n} < (2 n - 1) a_{2 n - 2}$ を得る。すなわち $a_{2 n} < \frac{2 n - 1}{2 n} a_{2 n - 2}$ である。

これを $n, n - 1, \dots, 2$ に対して順に用いると

a_{2 n} < \frac{2 n - 1}{2 n} \cdot \frac{2 n - 3}{2 n - 2} \dots \frac{3}{4} a_{2} = \frac{3 \cdot 5 \dots ( 2 n - 1 )}{4 \cdot 6 \dots ( 2 n )} a_{2}

となる。最後に

a_{2} = \int_{0}^{1} e^{t} t^{2} d t = [e^{t} (t^{2} - 2 t + 2)]_{0}^{1} = e - 2

であるから，求める不等式が示された。

東京工業大学 2005年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2005年度
理系数学第1問