東京工業大学 2004年度理系数学第4問解答・解説

問題

$0 < r < 1$ とする。空間において，点 $(0, 0, 0)$ を中心とする半径 $r$ の球と点 $(1, 0, 0)$ を中心とする半径 $1 - r^{2}$ の球との共通部分の体積を $V (r)$ とする。

(1) $V (r)$ を求めよ。

(2) $r$ が $0 < r < 1$ の範囲を動くとき， $V (r)$ を最大にする $r$ の値および $V (r)$ の最大値を求めよ。

出典：東京工業大学 2004年度前期理系第4問

方針

2つ目の球の半径を $s = 1 - r^{2}$ とおく。2つの球面の交わる平面を求めると $x = r^{2}$ になるので，共通部分を左右2つの球冠に分け， $x$ に垂直な断面円の面積を積分する。(2)は $r^{2} + s^{2} = 1$ を使い， $u = r s$ の関数へ整理して単調性から最大を求める。

解答

(1)

$s = 1 - r^{2}$ とおく。2つの球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}$ ， $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = s^{2}$ の交わりでは，両式を引いて $x = r^{2}$ を得る。

したがって共通部分は，左の球では $r^{2} ≦ x ≦ r$ の球冠，右の球では $1 - s ≦ x ≦ r^{2}$ の球冠である。よって断面積を積分して

V (r) = π \int_{r^{2}}^{r} (r^{2} - x^{2}) d x + π \int_{1 - s}^{r^{2}} {s^{2} - (x - 1)^{2}} d x

である。第2項で $u = 1 - x$ とおくと

V (r) = π \int_{r^{2}}^{r} (r^{2} - x^{2}) d x + π \int_{s^{2}}^{s} (s^{2} - u^{2}) d u

となる。したがって

V (r) = \frac{π}{3} {2 r^{3} - 3 r^{4} + r^{6} + 2 s^{3} - 3 s^{4} + s^{6}}, s = 1 - r^{2}

である。

(2)

$u = r s$ とおくと， $r^{2} + s^{2} = 1$ より $0 < u ≦ 1/2$ である。また $r^{4} + s^{4} = 1 - 2 u^{2}$ ， $r^{6} + s^{6} = 1 - 3 u^{2}$ ， $r^{3} + s^{3} = (r + s) (1 - u) = 1 + 2 u (1 - u)$ である。よって $\frac{3 V ( r )}{π} = 2 (1 - u) 1 + 2 u - 2 + 3 u^{2}$ である。右辺を $F (u)$ とおくと $F^{'} (u) = 6 u (1 - \frac{1}{1 + 2 u}) > 0 (0 < u ≦ 1/2)$ であるから， $V (r)$ は $u = r s$ が最大のとき最大となる。 $r^{2} + s^{2} = 1$ より $r s ≦ 1/2$ で，等号は $r = s$ のときである。したがって $r = s = 1/ 2$ ，すなわち $r = \frac{1}{2}$ のとき最大となる。このとき $V_{m a x} = \frac{π}{3} (2 - \frac{5}{4}) = \frac{π ( 4 2 - 5 )}{12}$ である。

東京工業大学 2004年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2004年度
理系数学第4問