東京工業大学 2004年度理系数学第2問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) $f (x)$ ， $g (x)$ を連続な偶関数， $m$ を正の整数とするとき， $\int_{0}^{mπ} f (sin x) g (cos x) d x = m \int_{0}^{π} f (sin x) g (cos x) d x$ を証明せよ。

(2) 正の整数 $m$ ， $n$ が $mπ ≦ n < (m + 1) π$ を満たしているとき，

\frac{m}{( m + 1 ) π} \int_{0}^{π} \frac{sin x}{( 1 + cos ^{2} x ) ^{2}} d x ≦ \int_{0}^{1} \frac{∣ sin n x ∣}{( 1 + cos ^{2} n x ) ^{2}} d x ≦ \frac{m + 1}{mπ} \int_{0}^{π} \frac{sin x}{( 1 + cos ^{2} x ) ^{2}} d x

を証明せよ。

(3) 極限値 $n \to \infty lim \int_{0}^{1} \frac{∣ sin n x ∣}{( 1 + cos ^{2} n x ) ^{2}} d x$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2004年度前期理系第2問

方針

(1)は $f$ と $g$ が偶関数であることから被積分関数の周期が $π$ になることを示す。(2)は $t = n x$ と置換して，非負な $π$ 周期関数の積分を $m$ 周期分と $m + 1$ 周期分で挟む。(3)は(2)の不等式ではさみうちを行い，残った1周期分の積分を $u = cos x$ ，さらに $u = tan θ$ で計算する。

解答

(1)

$H (x) = f (sin x) g (cos x)$ とおく。 $f$ ， $g$ は偶関数であるから $H (x + π) = f (- sin x) g (- cos x) = H (x)$ である。よって $H (x)$ は周期 $π$ をもつ。したがって

\int_{0}^{mπ} H (x) d x = j = 0 \sum m - 1 \int_{j π}^{(j + 1) π} H (x) d x = m \int_{0}^{π} H (x) d x

であり，求める等式が成り立つ。

(2)

$H (x) = \frac{∣ sin x ∣}{( 1 + cos ^{2} x ) ^{2}}$ ， $A = \int_{0}^{π} H (x) d x$ とおく。 $H (x)$ は非負で周期 $π$ をもつ。 $t = n x$ と置換すると

\int_{0}^{1} \frac{∣ sin n x ∣}{( 1 + cos ^{2} n x ) ^{2}} d x = \frac{1}{n} \int_{0}^{n} H (t) d t

である。 $mπ ≦ n < (m + 1) π$ と $H (t) ≧ 0$ より $m A ≦ \int_{0}^{n} H (t) d t ≦ (m + 1) A$ である。これを $n$ で割り，さらに $n < (m + 1) π$ ， $n ≧ mπ$ を用いると

\frac{m}{( m + 1 ) π} A ≦ \frac{m}{n} A ≦ \frac{1}{n} \int_{0}^{n} H (t) d t ≦ \frac{m + 1}{n} A ≦ \frac{m + 1}{mπ} A

となる。これは示すべき不等式である。

(3)

$n$ に対して $mπ ≦ n < (m + 1) π$ となる整数 $m$ を取ると， $n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ である。(2)より，求める極限は $A / π$ である。

ここで

A = \int_{0}^{π} \frac{sin x}{( 1 + cos ^{2} x ) ^{2}} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{d u}{( 1 + u ^{2} ) ^{2}} = 2 \int_{0}^{1} \frac{d u}{( 1 + u ^{2} ) ^{2}}

である。さらに $u = tan θ$ とおくと

2 \int_{0}^{1} \frac{d u}{( 1 + u ^{2} ) ^{2}} = 2 \int_{0}^{π /4} cos^{2} θ d θ = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}

である。したがって求める極限値は $\frac{A}{π} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2 π}$ である。

東京工業大学 2004年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2004年度
理系数学第2問