東京工業大学 2004年度
理系数学 第1問

解答

(1)

$x>a$ では$f^{\prime }(x)=\frac{x^3(x-4a)}{(x-a{)}^4}$である。分母は正で，また $x^3>0$ であるから，$f^{\prime }(x)$ の符号は $x-4a$ の符号と一致する。したがって $f(x)$ は $a<x<4a$ で減少し，$x>4a$ で増加する。$x=4a$ で最小値 $f(4a)=\frac{256a}{27}$ をとる。

(2)

水平線を $y=c$ とする。まず $g^{\prime }(x)=-\frac{2}{(x-a{)}^3}+\frac{3b}{x^4}$ であるから，$g^{\prime }(x)=0$ は $\frac{x^4}{(x-a{)}^3}=\frac{3b}{2}$，すなわち $f(x)=\frac{3b}{2}$ と同値である。

(1)より，この方程式が $x>a$ に相異なる2解をもつための条件は$\frac{3b}{2}>\frac{256a}{27}$である。このとき解を $\alpha ,\beta (a<\alpha <4a<\beta )$ とすると，$g$ は $\alpha$ で極小，$\beta$ で極大をとる。また極値をとる点 $x$ では $b=\frac{2x^4}{3(x-a{)}^3}$ なので$g(x)=\frac{x-3a}{3(x-a{)}^3}$であり，特に $\beta >4a$ から $g(\beta )>0$ である。よって $\max \{g(\alpha ),0\}<c<g(\beta )$ となる $c$ を選べば，グラフと水平線 $y=c$ は相異なる3点で交わる。

逆に，ある水平線 $y=c$ がグラフと相異なる3点で交わるなら，その3つの交点の間にロルの定理を用いて，$g^{\prime }(x)=0$ は少なくとも2つの相異なる解をもつ。したがって $f(x)=3b/2$ が $x>a$ で2解をもつ必要があり，(1)より $3b/2>256a/27$ でなければならない。したがって求める必要十分条件は $b>\frac{512a}{81}$ である。