問題
3枚のコイン ，， がある。，， の表の出る確率をそれぞれ ，， とする。このとき次の操作を 回繰り返す。まず， を投げて表が出れば を，裏が出れば を選ぶ。次にその選んだコインを投げて，表が出れば赤玉を，裏が出れば白玉をつぼの中にいれる。
(1) 回ともコイン を選び，つぼの中には 個の赤玉が入っている確率を求めよ。
(2) つぼの中が赤玉だけとなる確率を求めよ。
(3) ，，， のとき，つぼの中に何個の赤玉が入っていることがもっとも起こりやすいかを求めよ。
出典：東京工業大学 2004年度 前期 理系 第3問
方針
(1)は が毎回表となる確率と，その後の の投げ方で赤玉が 個になる確率を掛ける。(2)は1回の操作で赤玉が入る確率を求め，独立な 回の積にする。(3)は赤玉の個数が二項分布に従うことを使い，隣り合う確率の比で最頻値を判定する。
解答
(1)
回とも が選ばれるには， が毎回表であればよいので，その確率は である。そのもとで を 回投げ，表が 回出れば赤玉が 個入る。したがって のとき求める確率は である。
(2)
1回の操作で赤玉が入る確率は， が選ばれて表が出る場合と， が選ばれて表が出る場合を合わせて である。各回は独立であるから， 回すべて赤玉となる確率は である。
(3)
この場合，1回の操作で赤玉が入る確率はである。赤玉の個数を とするとである。
について，隣り合う確率の比は である。この比が 以上となる条件は ，すなわち である。よって確率は までは増加し， から減少する。したがってもっとも起こりやすい赤玉の個数は 個である。