東京工業大学 2003年度
理系数学 第4問

解答

(1)

$f_n(x)$ の最高次の項を $c_n{x}^{n+1}$ とする。$n=1$ では $f_1(x)=x^2$ であり，$c_1=1$ である。

$f_n(x)$ が $(n+1)$ 次であると仮定する。このとき $f_n^{(2)}(x)$ の最高次の項は $n(n+1)c_n{x}^{n-1}$ であるから，$x^3{f}_n^{(2)}(x)$ の最高次の項は $n(n+1)c_n{x}^{n+2}$ である。したがって $f_{n+1}(x)$ は $(n+2)$ 次で，$c_{n+1}=n(n+1)c_n$ である。

よって帰納法により，$f_n(x)$ は $(n+1)$ 次多項式である。また

であるから，$x^{n+1}$ の係数は $n!(n-1)!$ である。

(2)

$f_n(x)=a_{n,1}x+a_{n,2}{x}^2+a_{n,3}{x}^3+a_{n,4}{x}^4+\cdots$ とおく。$f_1(x)=x^2$ より $a_{1,1}=0,a_{1,2}=1,a_{1,3}=a_{1,4}=0$ である。

漸化式から，$k=1,2,3,4$ について $a_{n+1,k}=a_{n,k}+(k-1)(k-2)a_{n,k-1}$ である。ただし $a_{n,0}=0$ とする。したがって $a_{n,1}=0,a_{n,2}=1$ であり，さらに $a_{n+1,3}=a_{n,3}+2$ から $a_{n,3}=2(n-1)$ である。また $a_{n+1,4}=a_{n,4}+6a_{n,3}$ より

である。

以上から

である。