問題
において，辺 の中点を ，辺 の中点を とする。辺 を の比に内分する点 と，辺 を の比に内分する点 をとり，線分 と線分 の交点を とする。このとき， が に含まれるような 全体を 平面に図示し，その面積を求めよ。ただし，辺 ，辺 を の比に内分する点とは，ともに点 のこととする。
出典：東京工業大学 2003年度 前期 理系 第3問
方針
を基準に座標をとり，，， とおく。このとき ， であり，線分 と の交点 をパラメータで求める。 が に入る条件は なので，これを の不等式へ直し，境界曲線の下の面積を積分する。
解答
点 を原点とし，， を基準にして，，， とおく。この座標の取り方では，辺上の比や三角形内部の包含関係はそのまま読み取れる。また面積比は一定倍されるので，求める領域の割合もこの座標で計算してよい。すると ，，， である。
線分 上の点を ，線分 上の点を と表す。交点 では ， であるから， より
となる。
が に含まれる条件は である。前二者はすでに満たされるので， を考えればよい。 だから，これは と同値である。
境界は ，すなわち である。条件を満たす領域は， において を満たす部分である。したがって 平面では，点 ，， を境界にもつ座標軸と曲線 で囲まれた部分である。
求める面積は
である。