問題
3次関数 のグラフを とする。
(1) 原点を通る直線で， とちょうど2点を共有するものを2本求めよ。
(2) (1)で求めた直線のうち，傾きの大きい方を ，小さい方を とする。 と が囲む部分の面積を ， と が囲む部分の面積を とおく。この二つの面積の比 を求めよ。
出典：東京工業大学 2003年度 前期 理系 第1問
方針
原点を通る直線を とおき，交点の 座標を方程式で調べる。原点は常に交点なので，残りの二次方程式が重解をもつ場合と，原点をもう一度根にもつ場合が，異なる2点だけを共有する条件になる。面積は2本の直線について交点区間を決め，三次式との差を積分する。
解答
(1)
原点を通る直線を とする。交点の 座標は を満たす。原点以外の交点は で決まる。
直線と がちょうど2点を共有するには，この二次方程式が原点以外の重解をもつか，または を根にもつ必要がある。前者は判別式 より ，後者は より である。したがって求める直線は と である。
(2)
より，傾きの大きい方は ，小さい方は である。
との差はであり，囲まれる区間は である。よって
である。
また， と の差は であり，囲まれる区間は であるから， である。したがって である。