問題
2辺の長さの比が の長方形がある。この長方形から1本の線分にそって切ることにより正方形を取り去る。残った図形が正方形でなければ，再び同じ要領で正方形を取り去り，残りが正方形でない限りこの操作を続ける。例えば，， の場合はどちらも2回でこの操作は終わる。
(1) 3回でこの操作が終わるような の値をすべて求めよ。
(2) 回の操作で終わるような の値の最大値と最小値を求めよ。
出典：東京工業大学 2003年度 前期 理系 第2問
方針
操作後に残る長方形の辺の比を追う。比が なら次の比は ， なら次の比は になる。これを逆にたどると， 回で終わる比は， 回で終わる比 から と によって得られる。この逆操作から3回の場合を列挙し，一般の最大値と最小値を帰納的に求める。
解答
(1)
辺の比を常に と表す。1回操作した後の比は， のとき ， のとき である。1回で終わるのは のときである。
2回で終わるためには，1回操作後の比が であればよい。したがって または より， である。
3回で終わるためには，1回操作後の比が または であればよい。よって である。
(2)
回で終わる比全体の最大値を ，最小値を とする。 では である。
回で終わる比は， 回で終わる比 から または の形で得られる。したがって最大値は であり， から である。
一方， に対して であり， であるから，最小値は の形で生じる。この値は が大きいほど小さいので， である。よって である。
以上より， 回で終わるような の最大値は ，最小値は である。