東京工業大学 2002年度
理系数学 第4問

解答

(1)

$H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$ とおく。$1/x$ の単調減少性より，$\log (n+1)={\int }_1^{n+1}\frac{dx}{x}\leqq H_n\leqq 1+{\int }_1^n\frac{dx}{x}=1+\log n$ である。これを $\log n$ で割ると，両端はいずれも $1$ に近づくから，${\lim }_{n\to \infty }\frac{H_n}{\log n}=1$ である。

(2)

$p(x)=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)$ とおく。$p(x)$ は $0,1,2,\dots ,n$ を根にもつので，平均値の定理により各区間 $(j-1,j)$ に $p^{\prime }(x)=0$ となる点が少なくとも1つある。$p^{\prime }(x)$ は $n$ 次式なので，これら $n$ 個が $p^{\prime }(x)$ の零点のすべてである。したがって極値を与える点のうち最小のものは $(0,1)$ にある。

$0<x<1$ で $p^{\prime }(x)=0$ なら，$p(x)\ne 0$ であるから，$\frac{p^{\prime }(x)}{p(x)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\cdots +\frac{1}{x-n}=0$ である。これを $x=x_n$ に適用して移項すると，$\frac{1}{x_n}=\frac{1}{1-x_n}+\frac{1}{2-x_n}+\cdots +\frac{1}{n-x_n}$ を得る。

次に $G(x)=\frac{1}{x}-\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2-x}+\cdots +\frac{1}{n-x}\right)$ とおく。$0<x<1$ で $G^{\prime }(x)=-1/x^2-\{1/(1-x{)}^2+\cdots +1/(n-x{)}^2\}<0$ なので $G(x)$ は単調減少であり，$x$ が $0$ に近づくと $G(x)$ は正に大きくなる。また $G(1/2)=2-\left(2+\frac{1}{3/2}+\cdots +\frac{1}{n-1/2}\right)\leqq 0$ である。したがって $G(x_n)=0$ を満たす $x_n$ は $0<x_n\leqq 1/2$ を満たす。

(3)

(2)で得た式の右辺を $S_n=\frac{1}{1-x_n}+\frac{1}{2-x_n}+\cdots +\frac{1}{n-x_n}$ とおくと，$1/x_n=S_n$ である。$0<x_n\leqq 1/2$ より，$H_n\leqq S_n$ である。また$S_n=H_n+x_n\left\{\frac{1}{1(1-x_n)}+\frac{1}{2(2-x_n)}+\cdots +\frac{1}{n(n-x_n)}\right\}$であり，$k-x_n\geqq k/2$ だから，$S_n\leqq H_n+2x_n\left(1+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}\right)\leqq H_n+2$ である。

(1)より $H_n/\log n\to 1$ であるから，$S_n/\log n\to 1$ である。よって $x_n\log n=\frac{\log n}{S_n}\to 1$ であり，求める極限は $1$ である。