東京工業大学 2002年度
理系数学 第1問

解答

$a\leqq 0$ のとき，区間 $0\leqq x\leqq \pi /4$ で $\sin x-a\cos x\geqq 0$ であるから，$f(a)=1-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}a$ で，この範囲では $a=0$ のとき最小である。また $a\geqq 1$ のときは $\sin x-a\cos x\leqq 0$ であるから，$f(a)=\frac{\sqrt{2}}{2}a-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ で，この範囲では $a=1$ のとき最小である。

次に $0<a<1$ とし，$\tan \alpha =a$ $(0<\alpha <\pi /4)$ とおく。このとき $0\leqq x<\alpha$ では $\sin x-a\cos x<0$，$\alpha <x\leqq \pi /4$ では $\sin x-a\cos x>0$ である。したがって $f(a)={\int }_0^{\alpha }(a\cos x-\sin x)dx+{\int }_{\alpha }^{\pi /4}(\sin x-a\cos x)dx$ である。

$\cos \alpha =1/\sqrt{1+a^2}$，$\sin \alpha =a/\sqrt{1+a^2}$ より，$f(a)=2\sqrt{1+a^2}-1-\frac{1+a}{\sqrt{2}}$ となる。これを微分すると $f^{\prime }(a)=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。よって $f^{\prime }(a)=0$ から $a=1/\sqrt{7}$ を得る。この前後で $f^{\prime }(a)$ は負から正に変わるので，$0<a<1$ での最小は $a=1/\sqrt{7}$ のときである。

そのとき $f(a)=2\sqrt{\frac{8}{7}}-1-\frac{1+1/\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}-1$ である。この値は端の値より小さいので，求める最小値は $\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}-1$ である。