問題
空間内にある一辺の長さが の正三角形 で， の座標が であり， と の 座標が等しいものを考える。点 にある光源が 平面上に作るこの正三角形の影の部分の面積の最大値を求めよ。
出典：東京工業大学 2002年度 前期 理系 第3問
方針
辺 の中点を とする。 と の 座標が等しいので は 平面に平行であり， を使って の高さと水平距離の関係を作る。光源から 平面への射影倍率は高さだけで決まるので，影の面積を の高さの一変数関数にして最大化する。
解答
光源の高さを とする。点 の影は，直線で光源 と結んで と交わる点であるから，その 座標は である。
辺 の中点を ，その 座標を ， の 平面への射影と原点との距離を とする。正三角形より であり， の 座標はともに だから， である。
点 の影は原点 である。また は 平面に平行で長さ である。正三角形の中線より であり， の高さが等しいので， では は水平面内で に垂直な方向に限られる。したがって影の面積 は である。なお のときは と の影がともに原点で，面積は となり，同じ式で扱える。
ここで とおくと，，， である。正の関数 を最大にすればよい。 であり，これが となるのは のときである。範囲内の解は だけで，この前後で は増加から減少に変わる。
このとき ， であるから，最大面積は である。この配置では ，， なので実際に となり，条件を満たす。