問題
楕円 の外部の点 からひいた2本の接線が直交するような点 の軌跡を求めよ。
出典：東京工業大学 2002年度 前期 理系 第2問
方針
点 を通る傾き の直線を とおき，楕円に接する条件を判別式から求める。2本の接線の傾きが二次方程式の2根になるので，積が である条件を使う。傾きで扱えない垂直接線の場合は， の場合として最後に確認する。
解答
点 を通る傾き の直線を とおく。楕円 に直線 が接する条件は，代入して得られる二次方程式の判別式が であることから である。
したがって，点 から引ける傾き の接線は ，すなわち を満たす。
まず とする。2本の接線の傾きを とすれば，解と係数の関係より である。2本の接線が直交する条件は だから，，すなわち である。
次に の場合を考える。このとき垂直接線 がある。もう一方がこれに直交するには水平接線でなければならず，楕円の水平接線は である。よって で，やはり となる。
逆に を満たす点については， であるから楕円の外部にある。上の議論より2本の接線は直交する。したがって求める軌跡は円 である。