東京工業大学 2001年度
理系数学 第4問

解答

正方形を $0\leqq x\leqq 1$，$0\leqq y\leqq 1$ とおく。折り線が隣接する2辺を切ると，二重部分のうち折り線上の辺に隣り合う部分が左右で対応せず，線対称な五角形にはならない。したがって線対称な五角形になる場合，折り線は対辺を切る。正方形の対称性により，下辺と上辺を切る場合を考えればよい。折り線を $x+dy=u$ $(0<d<1)$ とし，下辺との交点を $A=(u,0)$，上辺との交点を $E=(u-d,1)$ とする。

折り返された下辺の像は $A$ を通る直線で，右辺 $x=1$ との交点を $B$ とすると$B=\left(1,\frac{2d(1-u)}{1-d^2}\right)$である。また，折り返された左辺の像と右辺，上辺との交点をそれぞれ $C,D$ とすると$C=\left(1,\frac{2u-1+d^2}{2d}\right),D=\left(\frac{2(u-d)}{1-d^2},1\right)$である。したがって二重部分の五角形は $A,B,C,D,E$ の順に並ぶ。

この五角形が線対称であるとき，辺 $AE$ の両端 $A,E$ は互いに対応し，頂点 $C$ は対称軸上にある。よって $C$ は $AE$ の垂直二等分線上にある。$AE$ の中点は $(u-d/2,1/2)$ で，垂直二等分線の方向は $(1,d)$ であるから，$\frac{2u-1+d^2}{2d}-\frac{1}{2}=d\left(1-u+\frac{d}{2}\right)$ を得る。これを解くと $u=(1+d)/2$ である。

このとき頂点は

となり，実際に直線 $y-1/2=d(x-1/2)$ に関して対称である。

この五角形の面積を頂点の座標から求めると$S(d)=\frac{1+d^2}{2(1+d)}$である。したがって $S^{\prime }(d)=\frac{d^2+2d-1}{2(1+d{)}^2}$ であり，$0<d<1$ で最小となるのは $d=\sqrt{2}-1$ のときである。このとき$S_{\min }=\frac{1+(\sqrt{2}-1{)}^2}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$である。