東京工業大学 2001年度理系数学第1問解答・解説

問題

$a > 0$ ， $t > 0$ に対して定積分 $S (a, t) = \int_{0}^{a} e^{- x} - \frac{1}{t} d x$ を考える。

(1) $a$ を固定したとき， $t$ の関数 $S (a, t)$ の最小値 $m (a)$ を求めよ。

(2) $lim_{a \to 0} \frac{m ( a )}{a ^{2}}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2001年度前期理系第1問

方針

$c = 1/ t$ とおいて， $\int_{0}^{a} ∣ e^{- x} - c ∣ d x$ を正の定数 $c$ について最小化する。最小値を与える $c$ は $e^{- a} ≦ c ≦ 1$ にあるので， $c = e^{- u}$ $(0 ≦ u ≦ a)$ とおき，絶対値が外れる点 $x = u$ で積分を分ける。得られた1変数関数を微分して $u = a /2$ を決める。

解答

(1)

$c = 1/ t$ とおくと， $t > 0$ は $c > 0$ と同値である。 $c < e^{- a}$ または $c > 1$ のときは， $c$ を区間 $[e^{- a}, 1]$ に近づけると各 $x$ での差の絶対値は増えない。したがって最小値は $e^{- a} ≦ c ≦ 1$ で考えればよい。

$c = e^{- u}$ $(0 ≦ u ≦ a)$ とおく。このとき $e^{- x} ≧ c$ となるのは $0 ≦ x ≦ u$ であるから，

S = \int_{0}^{u} (e^{- x} - e^{- u}) d x + \int_{u}^{a} (e^{- u} - e^{- x}) d x = 1 + e^{- a} + (a - 2 u - 2) e^{- u}

である。これを $u$ の関数と見ると，その導関数は $(2 u - a) e^{- u}$ である。よって $0 ≦ u ≦ a$ で $u = a /2$ のとき最小となる。

したがって $c = e^{- a /2}$ ，すなわち $t = e^{a /2}$ のとき最小であり， $m (a) = \int_{0}^{a /2} (e^{- x} - e^{- a /2}) d x + \int_{a /2}^{a} (e^{- a /2} - e^{- x}) d x = (1 - e^{- a /2})^{2}$ である。

(2)

$m (a) = (1 - e^{- a /2})^{2}$ より，

\frac{m ( a )}{a ^{2}} = (\frac{1 - e ^{- a /2}}{a})^{2} = \frac{1}{4} (\frac{1 - e ^{- a /2}}{a /2})^{2}

である。 $a \to 0$ のとき $\frac{1 - e ^{- a /2}}{a /2} \to 1$ だから，求める極限は $1/4$ である。

東京工業大学 2001年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2001年度
理系数学第1問