問題
空間内の動点 を考える。 は の部分では最大秒速 メートルで， の部分では最大秒速1メートルで動けるものとする。 がはじめに原点 にあるとき，その1秒後までに が到達し得る範囲の体積を求めよ。ただし， とする。
方針
回転対称性により，到達点を とおいて考える。 では半径 の下半球になる。 では，まず 上を速さ で水平に進み，その後速さ1で点に向かう形が最短になるので，水平に進む距離を として所要時間を最小化する。得られた各高さ での到達可能半径を積分し，下半球の体積と合わせる。
解答
点の 平面への距離を とする。 にある点については，速さ でまっすぐ進むのが最短であるから，到達範囲は ， である。したがってこの部分の体積は である。
次に の点を考える。回転対称性により到達点を としてよい。 上は に含まれるので，速さ で進める。境界上を距離 だけ進んでから，残りを速さ1で進むときの所要時間は である。この形が候補にとどまらないことを確認する。任意の経路について，最後に を離れる点の原点からの距離を とする。その点までの時間は水平変位だけを見ても少なくとも である。さらに，その点から到達点までの距離は，到達点の真下と同じ半直線上にある場合に最小でも であり，速さ1以下なので少なくともこの時間がかかる。逆に 上を距離 だけ進み，そこから直線で到達点へ進めばこの下限を達成できる。
とおく。 を最小にする内点があるとき， であり，このときの最小時間は である。一方， のときは が最小で，最小時間は である。
したがって高さ における到達可能半径は， では ， では である。よって の部分の体積は
である。
以上より，求める体積は
である。