問題
箱の中に1から までの番号が一つずつ書かれた 枚のカードが入っている。この箱から無作為にカードを1枚取り出して戻すという試行を 回行う。このとき，はじめから 回目 までに取り出したカードの番号の和を とし， のうちのどれかが となる確率を とする。
(1) のとき ，， を で表せ。
(2) ， を求めよ。
(3) のとき， を と で表せ。
方針
取り出す番号はすべて正なので，和が一度 になった後に再び になることはない。したがって「何回目で初めて和が になるか」を，正の整数の和の表し方として数えればよい。(1)(2)は直接列挙し，(3)は のため各部分が を超えないことを使って， の順序を考えた正の整数の組を二項係数で数える。
解答
(1)
番号はいずれも正であるから， となる は高々1つである。
では，1回目に1を引く場合だけなので である。
では，1回目に2を引く場合と，はじめの2回が である場合がある。よって である。
では，1回目に3を引く場合，はじめの2回が である場合，はじめの3回が である場合がある。したがって である。
(2)
とする。和が4になる取り出し方は，2回で の3通り，3回で の並べ替えの3通り，4回で の1通りである。よってである。
和が5になる取り出し方は，2回で の2通り，3回で の並べ替えと の並べ替えの計6通り，4回で の並べ替えの4通り，5回で の1通りである。したがってである。
(3)
となるのは，はじめの 回で取り出した番号が，和 の 個の正の整数になっているときである。 なので，この 個の正の整数はすべて 以下であり，カードの番号として許される。
和 を 個の正の整数の和として順序を考えて表す方法は 通りである。したがって
である。