東京工業大学 2000年度理系数学第4問解答・解説

問題

$n$ は2以上の自然数とする。関数 $y = e^{x}$ $\dots\dots$ (ア)， $y = e^{n x} - 1$ $\dots\dots$ (イ) について以下の問いに答えよ。

(1) (ア) と (イ) のグラフは第1象限においてただひとつの交点を持つことを示せ。

(2) (1) で得られた交点の座標を $(a_{n}, b_{n})$ としたとき， $lim_{n \to \infty} a_{n}$ と $lim_{n \to \infty} n a_{n}$ を求めよ。

(3) 第1象限内で (ア) と (イ) のグラフおよび $y$ 軸で囲まれた部分の面積を $S_{n}$ とおく。このとき $lim_{n \to \infty} n S_{n}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2000年度前期理系第4問

方針

交点条件を $t = e^{x}$ とおいて $t^{n} - t - 1 = 0$ に直す。 $t > 1$ で左辺が単調増加することから交点の一意性を示す。(2)は $e^{n a_{n}} = e^{a_{n}} + 1$ を用いて $n a_{n} = lo g (e^{a_{n}} + 1)$ とする。(3)は面積を積分で表し，交点条件で $e^{n a_{n}} - 1 = e^{a_{n}}$ と簡約してから極限を取る。

解答

(1)

交点では $e^{x} = e^{n x} - 1$ である。 $t = e^{x}$ とおくと，第1象限では $t > 1$ であり，方程式は $t^{n} - t - 1 = 0$ となる。

$F (t) = t^{n} - t - 1$ とおく。 $t > 1$ では $F^{'} (t) = n t^{n - 1} - 1 > 0$ であるから， $F (t)$ は単調増加する。また $F (1) = - 1$ で， $t$ を十分大きくすれば $F (t) > 0$ である。よって $t > 1$ にただ1つの解があり，したがって第1象限の交点もただ1つである。

(2)

交点を $(a_{n}, b_{n})$ とすると， $b_{n} = e^{a_{n}}$ であり， $e^{n a_{n}} = e^{a_{n}} + 1$ である。すなわち $n a_{n} = lo g (e^{a_{n}} + 1)$ である。

まず $e^{n a_{n}} = e^{a_{n}} + 1 > 2$ なので $a_{n} > 0$ である。一方，任意の正の定数 $c$ に対して，十分大きい $n$ では $e^{n c} > e^{c} + 1$ となるから，交点の一意性より $a_{n} < c$ である。よって $a_{n} \to 0$ である。したがって $lim_{n \to \infty} n a_{n} = lo g 2$ である。

(3)

$0 ≦ x ≦ a_{n}$ では $e^{x}$ が上側， $e^{n x} - 1$ が下側であるから

S_{n} = \int_{0}^{a_{n}} {e^{x} - (e^{n x} - 1)} d x = e^{a_{n}} - 1 - \frac{e ^{n a_{n}} - 1}{n} + a_{n}

である。交点条件より $e^{n a_{n}} - 1 = e^{a_{n}} = b_{n}$ なので $S_{n} = b_{n} - 1 - \frac{b _{n}}{n} + a_{n}$ である。

よって $n S_{n} = n (b_{n} - 1) + n a_{n} - b_{n}$ である。 $a_{n} \to 0$ ， $n a_{n} \to lo g 2$ であり， $b_{n} = e^{a_{n}}$ だから $b_{n} \to 1$ である。また $n (b_{n} - 1) = n a_{n} \cdot \frac{e ^{a_{n}} - 1}{a _{n}} \to lo g 2$ である。したがって $lim_{n \to \infty} n S_{n} = 2 lo g 2 - 1$ である。

東京工業大学 2000年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2000年度
理系数学第4問