問題
平面において半円 ， の内側が鏡になっているとする。定点 より，負の 軸方向となす角 で半円内部へ左上向きに光線が発射され，2回半円に反射したのち， 軸上の点 を通過したとする。
(1) このような状況が起こるための の範囲を求めよ。
(2) の座標を を用いて表せ。
(3) が (1) の範囲を動くときの の動く範囲を求めよ。
方針
円周上での反射では，隣り合う反射点を結ぶ弦が円周上で進む中心角が一定であることを使う。出発点 を中心角 の点とし，最初の弦から中心角の進みを と求める。2回目の反射点が上半円上にあり，さらにその後の光線が次に上半円へ当たる前に 軸へ出る条件を中心角で判定する。最後に，2回目の反射後の直線と 軸の交点を弦の方程式で求める。
解答
(1)
出発点 を円周上の中心角 の点とする。光線は左上へ出るので，最初の反射点を とすると，直線と円の交点計算から の中心角は である。
円の反射では，接線となす角が反射の前後で等しいから，以後も円周上の点の中心角は同じ差 だけ進む。したがって2回目の反射点 の中心角は である。これが上半円上にあるためには ，すなわち が必要である。
さらに2回目の反射後，次に円周に達する点の中心角は である。この点が上半円の内部にあると，光線は 軸に達する前にもう一度半円に当たる。よって が必要十分である。以上よりである。
(2)
2回目の反射後の直線は，中心角 と の円周上の2点を結ぶ弦を延長した直線である。単位円で中心角 の2点を結ぶ直線は，， としてと書ける。ここでは ， であるから， としてを得る。したがってである。
(3)
(1)の範囲では は を動くので， である。またより， とおくとである。ここで であり，分母は で最小値 をとり，端では である。よって の 座標の範囲はである。したがって は 軸上の線分 を動く。