東京工業大学 2000年度理系数学第2問解答・解説

問題

(1) 極座標表示された複素数 $z = r (cos θ + i sin θ)$ が $z + \frac{1}{2} < \frac{1}{2}$ を満たすための必要十分条件を $r$ と $θ$ を用いて表せ。

(2) $n$ を自然数とするとき， $∣1 + z + \dots + z^{n} ∣^{2}$ を $r$ ， $θ$ ， $n$ を用いて表せ。

(3) 複素数 $z$ が $z + \frac{1}{2} < \frac{1}{2}$ を満たすならば，すべての自然数 $n$ に対し $∣1 + z + \dots + z^{n} ∣ < 1$ が成り立つことを示せ。

出典：東京工業大学 2000年度前期理系第2問

方針

(1)は両辺を2乗して $r$ と $cos θ$ の不等式に直す。(2)は等比数列の和を使い，分子分母の絶対値を極形式で計算する。(3)は (1) から $0 < r < 1$ かつ $- cos θ > r$ を得て， $∣1 - z ∣$ と $∣1 - z^{n + 1} ∣$ を比較する。

解答

(1)

条件を2乗すると $r^{2} + r cos θ + \frac{1}{4} < \frac{1}{4}$ である。したがって $r (r + cos θ) < 0$ である。極座標表示では $r ≧ 0$ であり， $r = 0$ はもとの不等式を満たさない。よって必要十分条件は $0 < r < - cos θ$ である。

(2)

$z \neq = 1$ のとき，等比数列の和より $1 + z + \dots + z^{n} = \frac{1 - z ^{n + 1}}{1 - z}$ である。したがって

∣1 + z + \dots + z^{n} ∣^{2} = \frac{1 - 2 r ^{n + 1} cos (( n + 1 ) θ ) + r ^{2 n + 2}}{1 - 2 r cos θ + r ^{2}}

である。なお $z = 1$ のときは $∣1 + z + \dots + z^{n} ∣^{2} = (n + 1)^{2}$ である。

(3)

(1)より $0 < r < - cos θ$ であるから，特に $0 < r < 1$ かつ $- cos θ > r$ である。よって $∣1 - z ∣^{2} = 1 - 2 r cos θ + r^{2} > 1 + 3 r^{2}$ である。

一方， $n ≧ 1$ で $0 < r < 1$ だから $∣1 - z^{n + 1} ∣ ≦ 1 + r^{n + 1} ≦ 1 + r^{2}$ であり， $(1 + r^{2})^{2} = 1 + 2 r^{2} + r^{4} < 1 + 3 r^{2}$ である。したがって $∣1 - z^{n + 1} ∣ < ∣1 - z ∣$ である。

この領域では $z \neq = 1$ なので，(2)の和の式から $∣1 + z + \dots + z^{n} ∣ = \frac{∣1 - z ^{n + 1} ∣}{∣1 - z ∣} < 1$ となる。

東京工業大学 2000年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2000年度
理系数学第2問