問題
1辺の長さが の正三角形を底面とし，高さが の三角柱を考える。この三角柱を平面で切り，その断面が3辺とも三角柱の側面上にある直角三角形であるようにする。そのような直角三角形の面積がとりうる値の範囲を求めよ。
出典：東京工業大学 2000年度 前期 理系 第3問
方針
断面の3頂点は三角柱の3本の側稜上にある。各頂点の高さを とおくと，各辺の長さの2乗は などになる。直角条件を，最大辺の2乗が他の2辺の2乗の和に等しい条件として，高さ差 ， に直す。高さが に収まる条件は3つの高さの最大差が 以下であることに対応する。
解答
底面の正三角形の頂点を とし，断面がそれぞれの側稜と交わる点の高さを とする。断面の3辺の長さの2乗は，，である。
直角三角形であるから，どれか1つの辺の2乗が他の2つの辺の2乗の和に等しい。対称性により， に対応する辺が斜辺である場合を考えれば十分である。， とおくと であり，直角条件はである。したがって である。
このとき は同符号である。， とおくと である。また3つの高さを に入れることができるための条件は，3つの高さの最大差が 以下であることで，ここでは である。逆に ， なら，適当に上下に平行移動して高さを に収められる。
直角をはさむ2辺の長さは ， であるから，面積を とすると
である。 より であり，さらに である。したがってである。
また， は の任意の値をとれるので，この範囲のすべての面積が実現する。よって求める範囲はである。