東京工業大学 1998年度
理系数学 第4問

解答

(1)

楕円の式を微分すると，点 $B(p,q)$ における接線 $l$ の傾きは$m=-\frac{p}{a^{2}q}$である。また線分 $BA$ の傾きは $n=-q/(a-p)$ である。

なお $p=0$ なら接線 $l$ は水平で，直線 $x=p$ とのなす角は直角となり，線分 $BA$ とのなす鋭角とは等しくならない。したがって以下 $p\ne 0$ としてよい。接線 $l$ と鉛直線 $x=p$ のなす鋭角の正接は $a^{2}q/|p|$ である。一方，$l$ と $BA$ のなす鋭角の正接は

である。したがって角の条件は$\frac{a(a-p)}{q\{a^2(a-p)+p\}}=\frac{a^{2}q}{|p|}$である。

ここで $r=p/a$ とおくと $q^2=1-r^2$ である。もし $r>0$ なら，整理して$r=(1+r)\{a^2(1-r)+r\}$となるが，右辺から左辺を引くと $a^2(1-r^2)+r^2>0$ であり不可能である。よって $r<0$ である。

$s=-r$ とおくと，角の条件は$(a^2-1)s^2+2s-a^2=0$となる。$s>0$ であるから$s=\frac{\sqrt{a^4-a^2+1}-1}{a^2-1}=\frac{a^2}{\sqrt{a^4-a^2+1}+1}$である。したがって

である。

(2)

(1)の式から$\underset{a\to 1}{\lim }p=-\frac{1}{2}$である。また$\frac{p}{a}=-\frac{a^2}{\sqrt{a^4-a^2+1}+1}$であり，分母分子を $a^2$ で割ると$\underset{a\to \infty }{\lim }\frac{p}{a}=-1$を得る。