東京工業大学 1998年度
理系数学 第2問

解答

(1)

長方形を $0<X<a$，$0<Y<b$ とし，円 $A$ は左下の2辺に接するとしてよい。円 $A$ の中心は $(x,x)$ であり，性質(P)より $0<x<a/2$ である。

左下に接する半径 $r$ の円の中心は $(r,r)$ である。円 $A$ に外接する条件は $\sqrt{2}|r-x|=r+x$ で，$r=(3-2\sqrt{2})x$ または $r=(3+2\sqrt{2})x$ を得る。後者が性質(P)を満たすのは $x<a(3-2\sqrt{2})/2$ のときである。

右下に接する円の中心を $(a-r,r)$ とすると，外接条件は$(a-r-x{)}^2+(r-x{)}^2=(r+x{)}^2$である。これより $r=(\sqrt{a}-\sqrt{x}{)}^2$ を得る。この円が性質(P)を満たす条件は $r<a/2$，すなわち $x>a(3-2\sqrt{2})/2$ である。

左上に接する円の中心を $(r,b-r)$ とすると，同様に $r=(\sqrt{b}-\sqrt{x}{)}^2$ であり，条件 $r<a/2$ は$x>b+a/2-\sqrt{2ab}$である。右上に接する円の中心を $(a-r,b-r)$ とすると，外接条件から $r=a+b-\sqrt{2ab}-x$ となり，これも性質(P)を満たす条件は同じく $x>b+a/2-\sqrt{2ab}$ である。

ここで $b>a$ より$b+a/2-\sqrt{2ab}>a(3-2\sqrt{2})/2$である。したがって円 $A$ に外接する性質(P)の円が4つ存在するための条件は$b+a/2-\sqrt{2ab}<x<a/2$である。

(2)

(1)の条件のもとで4つの円の半径を小さい方から調べる。左下，右下，左上，右上に対応する半径をそれぞれ$(3-2\sqrt{2})x$，$(\sqrt{a}-\sqrt{x}{)}^2$，$(\sqrt{b}-\sqrt{x}{)}^2$，$a+b-\sqrt{2ab}-x$と書く。

$(\sqrt{b}-\sqrt{x}{)}^2-(\sqrt{a}-\sqrt{x}{)}^2=(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a}-2\sqrt{x})>0$であり，また $u=\sqrt{x}$，$\alpha =\sqrt{a/2}$，$\beta =\sqrt{b}$ とおくと，(1)の条件は $\beta -\alpha <u<\alpha$ である。このとき$a+b-\sqrt{2ab}-x-(\sqrt{b}-\sqrt{x}{)}^2=2(\alpha -u)(\alpha +u-\beta )>0$である。さらに $(\sqrt{a}-\sqrt{x}{)}^2>(3-2\sqrt{2})x$ も $x<a/2$ から従う。よって2番目に大きい円 $B$ の半径は $(\sqrt{b}-\sqrt{x}{)}^2$ である。

したがって面積の和を $S$ とすると$S=\pi \{x^2+(\sqrt{b}-\sqrt{x}{)}^4\}$である。$u=\sqrt{x}$ とおくと，最小化すべき量は $u^4+(\sqrt{b}-u{)}^4$ である。微分すると$4u^3-4(\sqrt{b}-u{)}^3$となるので，最小は $u=\sqrt{b}/2$，すなわち $x=b/4$ でとる。条件 $a<b<2a$ よりこの $x$ は (1) の範囲に入る。

このとき $A$ と $B$ の半径はいずれも $b/4$ であるから，求める最小値は

である。