東京工業大学 1998年度理系数学第3問解答・解説

問題

(1) $f (x) = \frac{2 x - 1}{x}$ とし， $t$ を実数とする。すべての自然数 $n$ に対し実数 $f_{n} (t)$ が $f_{n} (t) = f (f_{n - 1} (t))$ ， $n = 1, 2, 3, \dots$ ，ただし $f_{0} (t) = t$ によって帰納的に定義できるための $t$ の条件を求めよ。

(2) $a ≧ 1$ に対して，極限値 $n \to \infty lim n^{2} \int_{a}^{a + 1/ n} (f_{n} (t) - 1) d t$ を求めよ。

出典：東京工業大学 1998年度前期理系第3問

方針

$u_{n} = f_{n} (t) - 1$ とおくと， $u_{n} = u_{n - 1} / (1 + u_{n - 1})$ となる。 $u_{n} \neq = 0$ の範囲では逆数が等差数列になるので，一般項から分母が0になる初期値を除く。(2)では $a ≧ 1$ なので反復は問題なく定義され， $f_{n} (t) - 1 = (t - 1) / (1 + n (t - 1))$ を直接積分する。 $a = 1$ のときだけ積分区間が特異な初期点から始まるため， $a = 1$ と $a > 1$ で極限が分かれる。

解答

(1)

$u_{n} = f_{n} (t) - 1$ とおく。 $u_{n - 1} \neq = - 1$ のとき $u_{n} = \frac{u _{n - 1}}{1 + u _{n - 1}}$ である。 $t = 1$ のときは $u_{0} = 0$ で，すべての $n$ について $f_{n} (t) = 1$ となり定義できる。

$t \neq = 1$ のとき，定義できる範囲で逆数をとると $\frac{1}{u _{n}} = \frac{1}{u _{n - 1}} + 1$ であるから，帰納的に $u_{k} = \frac{t - 1}{1 + k ( t - 1 )}$ を得る。次の段階で定義できなくなるのは $f_{k} (t) = 0$ ，すなわち $u_{k} = - 1$ となるときである。これは $\frac{t - 1}{1 + k ( t - 1 )} = - 1$ と同値で， $t = 1 - 1/ (k + 1)$ である。

したがって求める条件は $t \neq = 1 - \frac{1}{m} (m = 1, 2, 3, \dots)$ である。なお $t = 1$ はこの除外集合に含まれず，実際に定義できる。

(2)

$t ≧ 1$ では (1) の除外値に当たらないので， $f_{n} (t) - 1 = \frac{t - 1}{1 + n ( t - 1 )}$ を用いてよい。 $c = a - 1$ とおくと

\int_{a}^{a + 1/ n} (f_{n} (t) - 1) d t = \int_{c}^{c + 1/ n} \frac{u}{1 + n u} d u = \frac{1}{n ^{2}} {1 - lo g \frac{n c + 2}{n c + 1}}

である。

よって $a = 1$ ，すなわち $c = 0$ のとき極限値は $1 - lo g 2$ である。一方， $a > 1$ なら $(n c + 2) / (n c + 1) \to 1$ であるから極限値は $1$ である。したがって

n \to \infty lim n^{2} \int_{a}^{a + 1/ n} (f_{n} (t) - 1) d t = {1 - lo g 2 1 (a = 1), (a > 1)

である。

東京工業大学 1998年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1998年度
理系数学第3問