問題
(1) 底辺の長さが ，2つの底角が ， の三角形の面積 は，次式で与えられることを示せ。
(2) 各辺の長さが ，， の三角形の各辺に1点ずつ頂点をもつ正三角形の面積の最小値を求めよ。
出典：東京工業大学 1997年度 前期 理系 第4問
方針
(1)は正弦定理で底辺以外の2辺を ，， で表し，面積公式と三角関数の積和公式で整理する。(2)はもとの三角形が ，， の直角三角形であることを用いて座標を置く。直角をはさむ2辺上の正三角形の頂点を ， とし，第3頂点が斜辺上にある条件を作る。あとは の最小値を二次式で求める。
解答
(1)
底辺に向かい合う角は であり，その正弦は である。正弦定理より，底辺以外の2辺の長さは，である。したがって面積は
である。さらにより，求める式を得る。
(2)
もとの三角形は，長さ の辺を斜辺とする直角三角形である。直角の頂点を原点に取り，2本の直角辺を座標軸上に置いて，頂点を ，， とする。斜辺 の方程式は である。
正三角形の頂点を， 上に ， 上に とおく。第3頂点が三角形の内側にある向きを取ると，その座標はである。もう一方の向きでは となり，斜辺 上には来ない。
が 上にある条件は
であり，整理して となる。正三角形の一辺の長さの2乗は であるから， として
を得る。最小値は ， のとき である。
よって正三角形の面積の最小値はである。