東京工業大学 1997年度理系数学第2問解答・解説

問題

(1) 極限値 $n \to \infty lim k = n \sum 2 n \frac{1}{k}$ を求めよ。

(2) 任意の正数 $a$ に対して $n \to \infty lim k = n \sum 2 n \frac{1}{a + k}$ は (1) と同じ極限値をもつことを証明せよ。

出典：東京工業大学 1997年度前期理系第2問

方針

(1)は関数 $1/ x$ が減少することを用い，和を左右から対数を含む定積分で挟む。(2)は $1/ k$ と $1/ (a + k)$ の差を評価し，その差の総和が $0$ に近づくことを示して (1) に帰着する。

解答

(1)

$n ≧ 2$ とする。 $1/ x$ は $x > 0$ で減少するので，各 $k = n, n + 1, \dots, 2 n$ について $\int_{k}^{k + 1} \frac{d x}{x} ≦ \frac{1}{k} ≦ \int_{k - 1}^{k} \frac{d x}{x}$ である。したがって

\int_{n}^{2 n + 1} \frac{d x}{x} ≦ k = n \sum 2 n \frac{1}{k} ≦ \int_{n - 1}^{2 n} \frac{d x}{x}

となる。左右はそれぞれ $lo g \frac{2 n + 1}{n}$ ， $lo g \frac{2 n}{n - 1}$ であり，どちらも $n \to \infty$ で $lo g 2$ に近づく。よって $n \to \infty lim k = n \sum 2 n \frac{1}{k} = lo g 2$ である。

(2)

$a > 0$ を固定する。各 $k ≧ n$ について $0 < \frac{1}{k} - \frac{1}{a + k} = \frac{a}{k ( a + k )} ≦ \frac{a}{n ^{2}}$ であるから，

0 < k = n \sum 2 n (\frac{1}{k} - \frac{1}{a + k}) ≦ \frac{a ( n + 1 )}{n ^{2}}

である。右辺は $n \to \infty$ で $0$ に近づく。したがって $\sum_{k = n}^{2 n} \frac{1}{a + k}$ と $\sum_{k = n}^{2 n} \frac{1}{k}$ の差は $0$ に近づくので，(1)と同じく極限値は $lo g 2$ である。

東京工業大学 1997年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1997年度
理系数学第2問