東京工業大学 1997年度
理系数学 第3問

解答

(1)

両辺に $2xy$ を掛けると $2x+2y=xy$ である。これを整理して$(x-2)(y-2)=4$を得る。

もとの式より $x=1,2$ は不適であり，同様に $y=1,2$ も不適である。したがって $x-2$，$y-2$ は正の整数であるから，$(x-2,y-2)$ は $(1,4),(2,2),(4,1)$ のいずれかである。よって求める組は$(x,y)=(3,6),(4,4),(6,3)$である。

(2)

$n$ に関する数学的帰納法で示す。$n=1$ のときは $1/x_1=r$ であり，解は存在しても高々1個である。

$n-1$ 個以下では主張が成り立つと仮定し，$n$ 個の場合を考える。解 $(x_1,\dots ,x_n)$ があるとし，その中の最小値を $m$ とする。このときすべての $k$ で $x_k\geqq m$ だから$r={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{x_k}\leqq \frac{n}{m}$であり，$m\leqq n/r$ である。したがって最小値 $m$ としてあり得る自然数は有限個である。

最小値 $m$ と，それをとる位置を1つ固定してその項を除くと，残りの $n-1$ 個の自然数は$\sum \frac{1}{x_k}=r-\frac{1}{m}$を満たす。右辺が正でない場合は残りの解はない。右辺が正の有理数の場合は，帰納法の仮定により残りの組の個数は有限である。

最小値 $m$ の候補も，その位置の候補も有限個であり，各候補に対する残りの組も有限個である。よって，もとの $(x_1,\dots ,x_n)$ の個数は有限である。