東京工業大学 1996年度
理系数学 第4問

解答

点 $P(t,f(t))$ において $y=f(t)$，$m=f^{\prime }(t)$ とおく。条件より $y>0,m>0$ である。接線の方程式は $Y-y=m(X-t)$ であるから，$x$ 軸との交点は $Q(t-y/m,0)$ である。法線の方程式は $Y-y=-(X-t)/m$ であるから，$x$ 軸との交点は $R(t+my,0)$ である。

したがって $F(t)=y(m+1/m)$ である。条件(ハ)より$m+\frac{1}{m}=\frac{y}{m}$であるから，$f(t)=f^{\prime }(t{)}^2+1$ を得る。

(1)

上の関係と $f^{\prime }(x)>0$ より，すべての $x\geqq 0$ で$f^{\prime }(x)=\sqrt{f(x)-1}$である。$f^{\prime }(x)>0$ だから $f(x)$ は $x\geqq 0$ で単調増加であり，したがって $f^{\prime }(x)=\sqrt{f(x)-1}$ も $x>0$ で単調増加である。また $f^{\prime }(0)=\sqrt{a-1}$ である。

$h>0$ とする。平均値の定理により，ある $c$ $(x<c<x+h)$ が存在して$f(x+h)-f(x)=f^{\prime }(c)h$となる。$c>0$ であり，$f^{\prime }$ は単調増加だから $f^{\prime }(c)\geqq f^{\prime }(0)=\sqrt{a-1}$ である。よって $f(x+h)-f(x)\geqq \sqrt{a-1}h$ である。

(2)

$g(x)=\sqrt{f(x)-1}$ とおく。$f(x)\geqq a>1$ であり，$f$ は微分可能だから $g$ も微分可能である。また上で得た関係より $g(x)=f^{\prime }(x)$ である。合成関数の微分により $g^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{2\sqrt{f(x)-1}}=1/2$ となる。したがって$f^{\prime }(t)=g(t)=\sqrt{a-1}+\frac{t}{2}$である。

$u=f^{\prime }(t)$ とおくと，$u\geqq \sqrt{a-1}$ であり，

である。いま$\frac{(u^2+1{)}^2}{u}=u^3+2u+\frac{1}{u}$であり，その増減は$3u^2+2-\frac{1}{u^2}=\frac{(3u^2-1)(u^2+1)}{u^2}$の符号で決まる。したがって $0<u<1/\sqrt{3}$ で減少し，$u>1/\sqrt{3}$ で増加する。

よって最小値は

である。前者は $u=1/\sqrt{3}$，すなわち $t=2(1/\sqrt{3}-\sqrt{a-1})$ で達し，後者は $t=0$ で達する。