問題
関数 が で極値 をとり，さらに 軸と曲線 で囲まれる面積が有限な2つの部分の面積が等しいとする。このとき次の問いに答えよ。
(1) のとき を求めよ。
(2) のとき を求めよ。
出典：東京工業大学 1996年度 前期 理系 第3問
方針
まず とおき， と から2条件を作る。面積条件は，根の並びに応じて絶対値付きの面積が等しいことを，原始関数 の値の等式に直す。(1)では から が出る。(2)では とおいて を示す。最後に から を決める。
解答
とおく。微分するとである。 で極値 をとるから，
である。または の原始関数である。
(1)
のとき，面積が有限な2部分は と にある。両者の面積が等しいことは と同値である。したがって
であり，整理して を得る。
とおくと である。これを に代入すると となるので， である。
のとき で， より である。 のとき で， である。よって
である。
(2)
とし， とおく。面積が有限な2部分は と にある。両者の面積が等しいことは と同値である。
として計算すると，
である。よって である。左辺を右辺へ移すととなり，第2因子は で正である。したがって ，すなわち である。
このとき であるから， より である。また より である。したがって
である。
最後に十分性を確認する。得られた3つの候補はいずれも導出に用いた ， と面積条件を満たす。さらに導関数は順に ，， となり，いずれも の前後で符号が正から負に変わる。したがって で極値 をとる条件も満たしている。