東京工業大学 1996年度理系数学第2問解答・解説

問題

$p = cos θ$ $(0 < θ < π /2)$ とし， $q, r, s$ を正数とする。また，行列 $A$ を $A = (p r - q s)$ とする。 $A$ で表される1次変換により，楕円 $C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a, b > 0)$ 上の点は $C$ 上の点にうつるものとする。このとき次の問いに答えよ。

(1) 行列 $A$ を $θ, a, b$ を用いて表せ。

(2) 自然数 $n$ に対し $A^{n}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 1996年度前期理系第2問

方針

楕円を $x = a X, y = bY$ により単位円 $X^{2} + Y^{2} = 1$ に直す。正規化後の1次変換が単位円周を単位円周へ移すことから，係数に関する3つの関係式を得る。 $p = cos θ$ と $q, r, s > 0$ により回転角 $θ$ の形に決まり， $A^{n}$ は正規化座標で回転を $n$ 回繰り返したものとして求める。

解答

(1)

$x = a X, y = bY$ とおくと，楕円 $C$ は $X^{2} + Y^{2} = 1$ となる。変換後の点を同じく正規化して $(X^{'}, Y^{'})$ と書くと，

X^{'} = pX - \frac{b q}{a} Y, Y^{'} = \frac{a r}{b} X + s Y

である。

$λ = b q / a, μ = a r / b$ とおく。すべての $X^{2} + Y^{2} = 1$ に対して $X^{'2} + Y^{'2} = 1$ であるから， $(X, Y) = (1, 0), (0, 1)$ および $(1/ 2, \pm 1/ 2)$ を代入して比較すると，

p^{2} + μ^{2} = 1, λ^{2} + s^{2} = 1, - p λ + μ s = 0

を得る。

$p = cos θ$ かつ $0 < θ < π /2$ ， $μ > 0$ より $μ = sin θ$ である。また $λ > 0, s > 0$ であり， $sin θ s = cos θ λ$ だから， $λ = sin θ, s = cos θ$ である。したがって

A = cos θ \frac{b}{a} sin θ - \frac{a}{b} sin θ cos θ

である。

(2)

正規化した座標では，この変換は

(X^{'} Y^{'}) = (cos θ sin θ - sin θ cos θ) (X Y)

である。加法定理より，これを $n$ 回繰り返すと角は $n θ$ になる。元の $(x, y)$ 座標へ戻すと

A^{n} = cos n θ \frac{b}{a} sin n θ - \frac{a}{b} sin n θ cos n θ

である。

東京工業大学 1996年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1996年度
理系数学第2問