東京工業大学 1996年度
理系数学 第1問

解答

(1)

$n=2$ のとき，$x_1+x_2=x_1{x}_2$ より $(x_1-1)(x_2-1)=1$ である。よって $(x_1,x_2)=(2,2)$ である。

$n=3$ のとき，解の成分を小さい順に $a\leqq b\leqq c$ と並べる。もし $a\geqq 2$ なら，$abc=a+b+c\leqq 3c$ から $ab\leqq 3$ となるが，$ab\geqq 4$ に反する。したがって $a=1$ である。

このとき $1+b+c=bc$，すなわち $(b-1)(c-1)=2$ である。$b\leqq c$ より $(b,c)=(2,3)$ となる。順序を区別するので，求める解は$(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)$である。

(2)

解が1つしかないとする。ある解に異なる2つの成分が含まれていれば，それらを入れ替えることで別の解が得られる。よって唯一解はすべての成分が等しい形 $(u,u,\dots ,u)$ でなければならない。

このとき $nu=u^n$ である。$u=1$ では $n=1$ となり，いまは $n\geqq 2$ だから不適である。したがって $u\geqq 2$ で，$n=u^{n-1}$ である。$n\geqq 3$ なら $u^{n-1}\geqq 2^{n-1}>n$ となり不可能である。$n=2$ のときは $u=2$ であり，(1)より解は $(2,2)$ だけである。したがって求める $n$ は $2$ である。

(3)

存在を示す。$n=2$ では $(2,2)$ が解である。$n\geqq 3$ では，$n-2$ 個の $1$ と $2,n$ からなる組をとると，和は $(n-2)+2+n=2n$，積も $2n$ であるから解である。

次に有限性を示す。任意の解を取り，その中で $1$ である成分の個数を $m$ とする。残りを $2\leqq y_1\leqq y_2\leqq \cdots \leqq y_k$ と並べると，$m+k=n$ であり，$m+y_1+y_2+\cdots +y_k=y_1{y}_2\cdots y_k$を満たす。$k=0$ または $k=1$ はこの等式を満たさないので $k\geqq 2$ である。

$y_k$ が最大であることから

であり，$y_1{y}_2\cdots y_{k-1}\leqq n$ である。したがって $m,k,y_1,\dots ,y_{k-1}$ の候補は有限個である。

それらを固定すると，最後の $y_k$ は$y_k\left(y_1{y}_2\cdots y_{k-1}-1\right)=m+y_1+\cdots +y_{k-1}$で決まる。よって昇順に並べた解の候補は有限個であり，順序を付け直して得られる解も有限個である。