東京工業大学 1995年度理系数学第4問解答・解説

問題

$1$ から $n$ までの数字を書いたカードが1枚ずつある。ただし $n ≧ 3$ とする。

(1) この $n$ 枚のカードから無作為に同時に2枚のカードを取り出すとき，書かれた数の積の期待値 $E$ を $n$ で表せ。

(2) この $n$ 枚のカードから無作為に同時に3枚のカードを取り出すとき，書かれた数の積の期待値を $E (n)$ で表す。このとき $lim_{n \to \infty} \frac{E ( n )}{n ^{3}}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 1995年度前期理系第4問

方針

2枚の場合は，すべての組の積の和を ${(1 + 2 + \dots + n)^{2} - (1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2})} /2$ で求める。3枚の場合は， $(1 + 2 + \dots + n)^{3}$ の展開から相異なる3数の積の和を取り出し，選び方の総数で割る。最後は得られた式を $n^{3}$ で割って極限を取る。

解答

(1)

2枚の選び方は $n (n - 1) /2$ 通りである。また，2枚の数字の積の総和は

\frac{1}{2} ⎩ ⎨ ⎧ (k = 1 \sum n k)^{2} - k = 1 \sum n k^{2} ⎭ ⎬ ⎫

である。したがって

E = \frac{\frac{1}{2} { \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4} - \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} }}{\frac{n ( n - 1 )}{2}} = \frac{( n + 1 ) ( 3 n + 2 )}{12}

である。

(2)

$S_{1} = 1 + 2 + \dots + n$ ， $S_{2} = 1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}$ ， $S_{3} = 1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3}$ とする。相異なる3枚に書かれた数の積の総和を $T$ とすると， $S_{1}^{3}$ を展開して $T = \frac{S _{1}^{3} - 3 S _{1} S _{2} + 2 S _{3}}{6}$ である。ここで $S_{1} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ ， $S_{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ ， $S_{3} = {\frac{n ( n + 1 )}{2}}^{2}$ を代入すると $T = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2} ( n - 1 ) ( n - 2 )}{48}$ となる。

3枚の選び方は $n (n - 1) (n - 2) /6$ 通りだから $E (n) = \frac{n ( n + 1 ) ^{2}}{8}$ である。よって $lim_{n \to \infty} \frac{E ( n )}{n ^{3}} = \frac{1}{8}$ である。

東京工業大学 1995年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1995年度
理系数学第4問