東京工業大学 1995年度
理系数学 第2問

解答

4つの連続する長さ $1$ の辺の方向角を順に $0,\theta ,2\theta ,3\theta$ とおく。下側の左端の頂点を $A=(0,0)$ とし，順に $B,C,D,E$ とすると，$c_k=\cos k\theta$，$s_k=\sin k\theta$ として $B=(1,0)$，$C=(1+c_1,s_1)$，$D=(1+c_1+c_2,s_1+s_2)$，$E=(1+c_1+c_2+c_3,s_1+s_2+s_3)$ である。

多角形の面積公式を用いて整理すると，面積 $S$ は $S=\frac{1}{2}(3\sin \theta +2\sin 2\theta +\sin 3\theta )$ となる。この式は，座標を代入して同類項をまとめれば得られる。

さらに整理すると $S=\sin \theta (1+2\cos \theta +2{\cos }^2\theta )$ である。微分すると $S^{\prime }=(2{\cos }^2\theta -1)(3\cos \theta +2)$ である。$0<\theta <\pi /2$ では $3\cos \theta +2>0$ だから，$S$ は $0<\theta <\pi /4$ で増加し，$\pi /4<\theta <\pi /2$ で減少する。

したがって最大は $\theta =\pi /4$ のときで，最大値は $\frac{1}{2}(3\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+2\cdot 1+\frac{\sqrt{2}}{2})=1+\sqrt{2}$ である。