東京工業大学 1995年度理系数学第1問解答・解説

問題

$n = 1, 2, 3, \dots$ に対して数列 $a (n) = \frac{( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 )}{n !}$ を考える。

(1) $lim_{n \to \infty} a (n)$ を求めよ。

(2) $a (n)$ が整数となる $n$ をすべて求めよ。

(3) 積 $a (1) a (2) \dots a (n)$ が整数となる $n$ をすべて求めよ。

出典：東京工業大学 1995年度前期理系第1問

方針

(1) は隣り合う項の比を使って factorial の増大を評価する。(2) は $n = 1$ から $6$ までを直接確認し， $n ≧ 7$ では分子が $n!$ より小さいことを帰納的に示す。(3) は $A_{n} = a (1) a (2) \dots a (n)$ とおき， $A_{7}$ まで整数， $A_{8}, A_{9}$ は非整数， $A_{10} < 1$ であることを確かめ，その後は $a (n) < 1$ により $A_{n}$ がさらに減少することを使う。

解答

(1)

$a (n) > 0$ であり， $\frac{a ( n + 1 )}{a ( n )} = \frac{n + 5}{( n + 1 ) ( n + 2 )}$ である。特に $n ≧ 6$ ではこの比は $1/2$ より小さい。したがって $a (n)$ は十分先で等比数列より速く $0$ に近づくから， $lim_{n \to \infty} a (n) = 0$ である。

(2)

直接計算すると $a (1) = 60$ ， $a (2) = 60$ ， $a (3) = 35$ ， $a (4) = 14$ ， $a (5) = 21/5$ ， $a (6) = 1$ である。

一方， $n = 7$ では $7! > 9 \cdot 10 \cdot 11$ である。ある $n ≧ 7$ で $n! > (n + 2) (n + 3) (n + 4)$ が成り立つとすると， $(n + 1)! > (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) > (n + 3) (n + 4) (n + 5)$ であるから，帰納的にすべての $n ≧ 7$ で $0 < a (n) < 1$ となる。よって $n ≧ 7$ では $a (n)$ は整数でない。以上より求める $n$ は $1, 2, 3, 4, 6$ である。

(3)

$A_{n} = a (1) a (2) \dots a (n)$ とおく。直接計算により $A_{1} = 60$ ， $A_{2} = 3600$ ， $A_{3} = 126000$ ， $A_{4} = 1764000$ ， $A_{5} = 7408800$ ， $A_{6} = 7408800$ ， $A_{7} = 1455300$ であり，ここまでは整数である。

また $A_{8} = 190575/4$ ， $A_{9} = 86515/384$ ， $A_{10} = 224939/1658880$ であるから， $A_{8}, A_{9}$ は整数でなく， $0 < A_{10} < 1$ である。さらに (2) の証明より $n ≧ 7$ では $0 < a (n + 1) < 1$ であるから， $A_{n}$ は $n ≧ 7$ で減少する。したがって $n ≧ 10$ では $0 < A_{n} < 1$ となり整数でない。よって求める $n$ は $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ である。

東京工業大学 1995年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 1995年度
理系数学第1問