東京工業大学 1995年度
理系数学 第3問

解答

(1)

$f^{\prime }(x)=\frac{2x}{n^2}+2e^{2x}$ である。さらに$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{n^2}+4e^{2x}>0$だから，$f^{\prime }(x)$ は狭義単調増加である。また $x\to -\infty$ のとき $f^{\prime }(x)\to -\infty$，一方 $f^{\prime }(0)=2>0$ である。よって $f^{\prime }(\alpha )=0$ となる $\alpha <0$ がただ1つ存在する。

したがって $f(x)$ は $x<\alpha$ で減少し，$x>\alpha$ で増加する。さらに $x\to -\infty$ で $f(x)\to \infty$，$f(0)=0$，かつ $\alpha <0$ なので $f(\alpha )<0$ である。ゆえにグラフは下に凸で，負の $x$ に1つの零点をもち，もう1つの零点は $x=0$ である。

(2)

交点では $y=e^x/n$ であるから，楕円の式に代入して$\frac{x^2}{n^2}+e^{2x}=1$を得る。これは $f(x)=0$ と同じであり，(1) より $(0,1/n)$ でない交点の $x$ 座標 $x_n$ はただ1つの負の零点である。

任意に $0<\epsilon <1$ をとる。$f(-n)=e^{-2n}>0$ であり，

である。右辺は $-2\epsilon +{\epsilon }^2+e^{-2n(1-\epsilon )}$ であり，$n$ が十分大きいと負になる。負の零点はただ1つであるから，十分大きい $n$ について$-n<x_n<-n(1-\epsilon )$が成り立つ。よって$-1<\frac{x_n}{n}<-1+\epsilon$である。$\epsilon$ は任意なので，はさみうちにより${\lim }_{n\to \infty }\frac{x_n}{n}=-1$である。