東京工業大学 1989年度理系数学第4問解答・解説

問題

次の極限値を求めよ．

n \to \infty lim \int_{0}^{π} x^{2} ∣ sin n x ∣ d x

出典：東京工業大学 1989年度前期理系第4問

方針

区間 $[0, π]$ を $n$ 個の小区間に分け，それぞれで $u = n x - k π$ と置換する。 $∣ sin n x ∣$ は各小区間で $sin u$ になり， $(k π + u)^{2}$ を展開して $\sum k$ ， $\sum k^{2}$ と3つの基本積分に帰着させる。極限だけでなく積分値の式を正確に求める。

解答

$0 ≦ k ≦ n - 1$ に対して，区間 $[k π / n, (k + 1) π / n]$ で $u = n x - k π$ とおく。このとき $0 ≦ u ≦ π$ ， $∣ sin n x ∣ = sin u$ ， $x = (k π + u) / n$ である。したがって

\int_{0}^{π} x^{2} ∣ sin n x ∣ d x = \frac{1}{n ^{3}} k = 0 \sum n - 1 \int_{0}^{π} (k π + u)^{2} sin u d u = \frac{1}{n ^{3}} {π^{2} k = 0 \sum n - 1 k^{2} \int_{0}^{π} sin u d u + 2 π k = 0 \sum n - 1 k \int_{0}^{π} u sin u d u + n \int_{0}^{π} u^{2} sin u d u} .

ここで

\int_{0}^{π} sin u d u = 2, \int_{0}^{π} u sin u d u = π, \int_{0}^{π} u^{2} sin u d u = π^{2} - 4

である。また $\sum_{k = 0}^{n - 1} k = n (n - 1) /2$ ， $\sum_{k = 0}^{n - 1} k^{2} = n (n - 1) (2 n - 1) /6$ であるから，積分値は

\frac{1}{n ^{3}} {2 π^{2} k = 0 \sum n - 1 k^{2} + 2 π^{2} k = 0 \sum n - 1 k + n (π^{2} - 4)} = \frac{1}{n ^{3}} {\frac{2 π ^{2}}{3} (n^{3} - n) + n (π^{2} - 4)} = \frac{2 π ^{2}}{3} + \frac{π ^{2} /3 - 4}{n ^{2}} .

よって求める極限値は $\frac{2 π ^{2}}{3}$ である。

東京工業大学 1989年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

東京工業大学 1989年度
理系数学第4問