東京工業大学 1989年度
理系数学 第3問

解答

(1)

与えられた等式で $x=y=0$ とすると $f(0)=2f(0)+f(0{)}^2$ であるから，$f(0)=0$ または $f(0)=-1$ である。

また $y=0$ とすると $f(x)=f(x)+f(0)+f(x)f(0)$ である。もし $f(0)=-1$ なら $1+f(x)=0$ がすべての $x$ で成り立つので，$f(x)=-1$ である。この場合はすべての $x$ で微分可能である。

以下 $f(0)=0$ とする。任意の $x$ と $h$ について$f(x+h)=f(x)+f(h)+f(x)f(h)$より$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=(1+f(x))\frac{f(h)}{h}$である。$f$ は $0$ で微分可能で，しかも $f(0)=0$ だから，$h\to 0$ とすると右辺は収束する。したがって $f$ は任意の $x$ で微分可能であり，$a=f^{\prime }(0)$ とおけば$f^{\prime }(x)=a(1+f(x))$である。

(2)

すでに $f(x)=-1$ は解である。以下 $f(0)=0$ の場合を考える。$g(x)=1+f(x)$ とおくと，条件式は

となる。また $g(x)g(-x)=g(0)=1$ であるから $g(x)\ne 0$ であり，さらに $g(x)=g(x/2{)}^2>0$ である。

そこで $F(x)=\log g(x)$ とおく。上の式から $F(x+y)=F(x)+F(y)$ である。さらに $g$ は微分可能で $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)=ag(x)$ だから，$F$ も微分可能で

である。よって $F(x)=ax$ となり，$g(x)=e^{ax}$ である。したがって$f(x)=e^{ax}-1$である。ただし $a$ は任意の実数である。これらの関数はいずれも与えられた等式と $x=0$ での微分可能性を満たす。

以上より，求める関数は $f(x)=-1$，または任意の実数定数 $a$ を用いて $f(x)=e^{ax}-1$ と表される関数である。