東京工業大学 1989年度理系数学第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面で原点を中心とする半径2の円を $A$ ，点 $(3, 0)$ を中心とする半径1の円を $B$ とする． $B$ が $A$ の周上を，反時計まわりに，すべらずにころがって，もとの位置に戻るとき，初めに $(2, 0)$ にあった $B$ 上の点 $P$ の描く曲線を $C$ とする．

(1) $C$ 上の点で $x$ 座標が最大となる点の座標を求めよ．

(2) 曲線 $C$ の長さを求めよ．

出典：東京工業大学 1989年度前期理系第2問

方針

外側をすべらずに転がる半径1の円の中心を $(3 cos t, 3 sin t)$ とおく。固定円上で進んだ弧長と小円の回転角から，初め接点にあった点の媒介変数表示 $(3 cos t - cos 3 t, 3 sin t - sin 3 t)$ を得る。(1) は $x = 6 cos t - 4 cos^{3} t$ を最大化し，(2) は速度を計算して $0 ≦ t ≦ 2 π$ で積分する。

解答

(1)

円 $B$ の中心を $O$ とし， $O$ が偏角 $t$ の位置にあるとする。すると $O = (3 cos t, 3 sin t)$ である。すべらずに外側を転がるので，小円は中心のまわりに角 $3 t$ だけ時計まわりに回転する。したがって，初めに接点 $(2, 0)$ にあった点 $P$ は

P (t) = (3 cos t - cos 3 t, 3 sin t - sin 3 t) (0 ≦ t ≦ 2 π)

と表される。

$c = cos t$ とおくと， $x$ 座標は

x = 3 cos t - cos 3 t = 3 c - (4 c^{3} - 3 c) = 6 c - 4 c^{3}

である。 $- 1 ≦ c ≦ 1$ において $6 c - 4 c^{3}$ を最大にする。導関数は $6 - 12 c^{2}$ であるから，候補は $c = 1/ 2$ および端点である。値を比べると， $c = 1/ 2$ のとき最大値 $22$ をとる。このとき $sin t = \pm 1/ 2$ であり，

y = 3 sin t - sin 3 t = 4 sin^{3} t = \pm 2

である。よって求める点は $(22, 2)$ ， $(22, - 2)$ である。

(2)

上の媒介変数表示を微分すると

\frac{d x}{d t} = - 3 sin t + 3 sin 3 t, \frac{d y}{d t} = 3 cos t - 3 cos 3 t

である。したがって速さは

(\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} = 3 (sin 3 t - sin t)^{2} + (cos t - cos 3 t)^{2} = 6∣ sin t ∣

となる。よって曲線 $C$ の長さは

\int_{0}^{2 π} 6∣ sin t ∣ d t = 24

である。

東京工業大学 1989年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1989年度
理系数学第2問