東京工業大学 1989年度理系数学第1問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の点 $P$ から放物線 $y = x^{2}$ へ2本の異なる接線を引き，それらの接点を $Q$ ， $R$ とする．

(1) 点 $P$ が次の3つの不等式 $y ≦ x - 1$ ， $y ≦ - x + 1$ ， $- 1 ≦ y$ を同時に満たす範囲を動くとき，線分 $QR$ の中点が動く範囲を図示せよ．

(2) 三角形 $P QR$ の面積が2に等しくなる点 $P$ はどんな曲線上にあるか．その方程式を求めよ．

出典：東京工業大学 1989年度前期理系第1問

方針

放物線 $y = x^{2}$ の接点をパラメータで表す。接点の $x$ 座標を $u, v$ とすると，点 $P = (a, b)$ からの接線条件は $u, v$ が $t^{2} - 2 a t + b = 0$ の2つの異なる実数解であることに等しい。中点は $(a, 2 a^{2} - b)$ と表せるので，点 $P$ の不等式と2接線条件をそのまま写す。(2) は同じ $u, v$ を用いて三角形の面積を計算し， $a^{2} - b$ の条件に直す。

解答

点 $P$ を $(a, b)$ とする。放物線 $y = x^{2}$ の $x = t$ における接線は $y = 2 t x - t^{2}$ である。これが $P$ を通る条件は $b = 2 a t - t^{2}$ ，すなわち $t^{2} - 2 a t + b = 0$ である。2本の異なる接線が引けるから，この2次方程式は相異なる2つの実数解をもち，したがって $a^{2} - b > 0$ である。

(1)

2つの接点の $x$ 座標を $u, v$ とする。解と係数の関係より $u + v = 2 a$ ， $uv = b$ である。接点は $Q = (u, u^{2})$ ， $R = (v, v^{2})$ であるから，線分 $QR$ の中点を $(X, Y)$ とおくと

X = \frac{u + v}{2} = a, Y = \frac{u ^{2} + v ^{2}}{2} = \frac{( u + v ) ^{2} - 2 uv}{2} = 2 a^{2} - b

である。よって $b = 2 X^{2} - Y$ である。

点 $P$ の動く範囲は $- 1 ≦ b$ ， $b ≦ a - 1$ ， $b ≦ - a + 1$ であり，後二者は $b ≦ 1 - ∣ a ∣$ とまとめられる。また2本の異なる接線の条件は $b < a^{2}$ である。 $a = X$ ， $b = 2 X^{2} - Y$ を代入すると

∣ X ∣ ≦ 2, Y ≦ 2 X^{2} + 1, Y ≧ 2 X^{2} + ∣ X ∣ - 1, Y > X^{2}

を得る。ただし $∣ X ∣ ≦ 2$ は $- 1 ≦ 1 - ∣ X ∣$ から従う。したがって求める範囲は， $X Y$ 平面でこれら4条件を同時に満たす部分である。境界 $Y = 2 X^{2} + 1$ と $Y = 2 X^{2} + ∣ X ∣ - 1$ のうち許される部分は含み，境界 $Y = X^{2}$ は含まない。

(2)

上と同じく接点の $x$ 座標を $u, v$ とする。 $a = (u + v) /2$ ， $b = uv$ である。点 $P$ から見た2つのベクトルは

P Q = (\frac{u - v}{2}, u (u - v)), P R = (\frac{v - u}{2}, v (v - u))

である。よって三角形 $P QR$ の面積は

\frac{1}{2} \frac{u - v}{2} v (v - u) - u (u - v) \frac{v - u}{2} = \frac{∣ u - v ∣ ^{3}}{4}

となる。一方， $(u - v)^{2} = (u + v)^{2} - 4 uv = 4 (a^{2} - b)$ であるから，面積は $2 (a^{2} - b)^{3/2}$ である。これが $2$ に等しい条件は $a^{2} - b = 1$ ，すなわち $b = a^{2} - 1$ である。

したがって点 $P = (x, y)$ は放物線 $y = x^{2} - 1$ 上にある。このとき $x^{2} - y = 1 > 0$ なので，2本の異なる接線が引ける条件も満たしている。

東京工業大学 1989年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1989年度
理系数学第1問