東京工業大学 1981年度理系数学第4問解答・解説

問題

区間 $0 < t ≦ 1$ において $F (t) = \frac{1}{t} \int_{0}^{\frac{π}{2} t} ∣ cos 2 x ∣ d x$ とおく。

(1) $lim_{t \to 0} F (t)$ を求めよ。

(2) $F (t) ≧ 1$ となる $t$ の範囲を求めよ。

出典：東京工業大学 1981年度前期日程理系第4問

方針

積分区間で $cos 2 x$ の符号が変わるのは $x = π /4$ である。したがって $0 < t ≦ 1/2$ と $1/2 ≦ t ≦ 1$ に分けて $F (t)$ を明示する。(1)は小さい $t$ での式から求める。(2)は $sin$ のグラフが $[0, π /2]$ で弦より上にあることを使い，等号の場合を落とさないように調べる。

解答

(1)

$0 < t < 1/2$ では $0 ≦ x ≦ π t /2 < π /4$ だから $cos 2 x ≧ 0$ である。よって

F (t) = \frac{1}{t} \int_{0}^{\frac{π}{2} t} cos 2 x d x = \frac{sin π t}{2 t} .

したがって $lim_{t \to 0} F (t) = lim_{t \to 0} \frac{s i n π t}{2 t} = \frac{π}{2}$ である。

(2)

まず $0 < t ≦ 1/2$ のとき，(1)と同じ計算により $F (t) = sin π t / (2 t)$ である。 $0 ≦ u ≦ π /2$ では $sin u$ のグラフは弦 $y = 2 u / π$ 以上にあるから， $u = π t$ として $sin π t ≧ 2 t$ である。よって $0 < t ≦ 1/2$ では $F (t) ≧ 1$ である。

次に $1/2 ≦ t ≦ 1$ とする。このとき

\int_{0}^{\frac{π}{2} t} ∣ cos 2 x ∣ d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} cos 2 x d x - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2} t} cos 2 x d x = 1 - \frac{1}{2} sin π t

である。したがって $F (t) ≧ 1$ は $1 - \frac{1}{2} sin π t ≧ t$ ，すなわち $sin π t ≦ 2 (1 - t)$ と同値である。 $s = 1 - t$ とおくと $0 ≦ s ≦ 1/2$ で，この条件は $sin π s ≦ 2 s$ となる。先ほどの弦の不等式より $0 < s < 1/2$ では $sin π s > 2 s$ であり，等号は $s = 0, 1/2$ のときだけである。したがって $1/2 ≦ t ≦ 1$ では $t = 1/2, 1$ のみが条件を満たす。

以上より，求める範囲は $0 < t ≦ 1/2$ または $t = 1$ である。

東京工業大学 1981年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 1981年度
理系数学第4問