問題
曲線 上に3点 ，， をとり，曲線および線分 で囲まれた領域を とする（ は境界を含む）。点 を第1象限，点 を第2象限にとり， が に含まれるように点 ， を動かすとき， の面積の最大値を求めよ。
出典：東京工業大学 1981年度 前期日程 理系 第2問
方針
三角形の上側の辺は を越えられない。固定した 座標に対して， や の 座標を まで上げても，原点からの辺は曲線より下がらず，三角形は小さくならない。よって最大では ， としてよい。右側は で最大 。左側は直線 が曲線の上にある条件を で調べ， を得る。
解答
領域 は において曲線 と直線 の間にある。， と書く。ただし ， である。
固定した について， をそれぞれ ， に取り替えることを考える。元の三角形が に含まれるなら，辺 ， は曲線より上にあり，かつ である。したがって辺 ， はそれぞれ ， より上にあり，しかも を越えないので 内に残る。また上辺 は境界直線 上にある。よって も に含まれ，面積は小さくならない。したがって最大値を考えるには ， として十分である。
右側では である。直線 は であり， において が必要である。特に のとき は で成り立つから，右端は最大で まで取れる。
左側を調べる。 とすると直線 は である。 とおくと， においてこの直線が曲線の上にある条件は である。 では，これは と同値である。
における の最大値は， なら ， なら である。 では条件は満たされる。 では ，すなわち が必要十分である。したがって左側で取れる最大は である。
よって最大の三角形は ， で実現される。このとき底辺 の長さは ，原点から直線 までの高さは であるから，面積の最大値はである。