東京工業大学 1981年度理系数学第1問解答・解説

問題

$α$ は $0 < α < 1$ を満たす実数とする。任意の自然数 $n$ に対して， $2^{n - 1} α$ の整数部分を $a_{n}$ とし， $2^{n - 1} α = a_{n} + b_{n}$ とおくと， $n$ が奇数のとき $0 ≦ b_{n} < \frac{1}{2}$ ， $n$ が偶数のとき $\frac{1}{2} < b_{n} < 1$ になるという。 $a_{n}$ および $α$ を求めよ。

出典：東京工業大学 1981年度前期日程理系第1問

方針

$b_{n}$ は $2^{n - 1} α$ の小数部分である。 $b_{n + 1}$ は $2 b_{n}$ の小数部分になるので，奇数番から偶数番，偶数番から奇数番への移り方を式にする。奇数番だけを取り出すと一次漸化式になり，指定された範囲に全項が入る条件から初項を一意に定める。最後に $α = 1/3$ が条件を満たすことと $a_{n}$ の式を確認する。

解答

$2^{n - 1} α = a_{n} + b_{n}$ で $a_{n}$ は整数， $0 ≦ b_{n} < 1$ である。したがって $2^{n} α = 2 a_{n} + 2 b_{n}$ より， $b_{n + 1}$ は $2 b_{n}$ の小数部分である。

$n$ が奇数のときは $0 ≦ b_{n} < 1/2$ であるから $b_{n + 1} = 2 b_{n}$ である。さらに $n + 1$ は偶数なので $b_{n + 1} > 1/2$ であり， $b_{n} > 1/4$ も従う。次に $n + 1$ は偶数だから $1/2 < b_{n + 1} < 1$ であり， $b_{n + 2} = 2 b_{n + 1} - 1$ である。ゆえに，奇数 $n$ について $b_{n + 2} = 4 b_{n} - 1$ が成り立つ。

$c_{k} = b_{2 k - 1}$ とおくと，すべての自然数 $k$ について $1/4 < c_{k} < 1/2$ であり， $c_{k + 1} = 4 c_{k} - 1$ である。ここで $d_{k} = c_{k} - 1/3$ とおけば $d_{k + 1} = 4 d_{k}$ ，すなわち $d_{k} = 4^{k - 1} d_{1}$ である。一方， $1/4 < c_{k} < 1/2$ より $- 1/12 < d_{k} < 1/6$ がすべての $k$ で成り立つ。もし $d_{1} > 0$ なら十分大きい $k$ で $d_{k} ≧ 1/6$ となり矛盾する。もし $d_{1} < 0$ なら十分大きい $k$ で $d_{k} ≦ - 1/12$ となり矛盾する。したがって $d_{1} = 0$ であり， $α = b_{1} = c_{1} = 1/3$ である。

このとき $2^{n - 1} α = 2^{n - 1} /3$ である。 $n$ が奇数なら $2^{n - 1}$ は $3$ で割ると余り $1$ なので， $2^{n - 1} - 1$ は $3$ で割り切れる。したがって $a_{n} = \frac{2 ^{n - 1} - 1}{3}$ ， $b_{n} = \frac{1}{3}$ である。 $n$ が偶数なら $2^{n - 1}$ は $3$ で割ると余り $2$ なので， $2^{n - 1} - 2$ は $3$ で割り切れる。したがって $a_{n} = \frac{2 ^{n - 1} - 2}{3}$ ， $b_{n} = \frac{2}{3}$ である。以上は指定された大小条件を満たす。よって

α = \frac{1}{3}, a_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 ^{n - 1} - 1}{3} \frac{2 ^{n - 1} - 2}{3} (n が奇数), (n が偶数)

である。

東京工業大学 1981年度理系数学 第1問

問題

方針

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東京工業大学 1981年度
理系数学第1問