問題
3点 はそれぞれ原点 を中心とする半径 の円周上で，正の向きに角速度 の等速円運動をしている動点とする。 の面積の最大値を求めよ。ただし，ある時刻において2点 ， は線分 上にあるとする。
出典：東京工業大学 1981年度 前期日程 理系 第3問
方針
3点が一直線上に並ぶ時刻を とし，その後の偏角を とおく。三角形の符号付き面積を，2点の位置ベクトルの作る三角形の面積の和として表すと， と だけになる。あとは とおき， の最大値を微分で求める。
解答
ある時刻に が線分 上にあるので，その時刻を とし，その共通の向きを 軸の正の向きに取ってよい。時刻 において， の偏角はそれぞれ と表せる。
2つの半径 ，偏角 の位置ベクトルが作る符号付き面積の2倍は である。したがって の符号付き面積はである。よって面積は である。
とおくと であり， であるから，面積の最大値を求めるには の最大値を求めればよい。これを とおく。端点 では である。 で微分すると である。 だから， は ，すなわち と同値である。このうち に入る解は のみである。端点では面積が なので，ここで最大となる。
したがって求める最大面積は
である。