問題
を実数とし，複素数に対して
とする．ただし，は虚数単位，はと共役な複素数である．
(1) は実数であることを示せ．
(2) 実数に対して，かつ
となるような複素数の個数をとする．を求めよ．
出典：大阪大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
と置いて，まず を実座標で表す。すると となり，条件式は だけの二次方程式に分解できる。したがって単位円 と，直線 ， の交点数を数える問題になる。2本の直線が一致する例外 を最後に必ず除いて数える。
解答
(1)
とおく。ただし は実数である。このとき だから
である。 はいずれも実数なので， は実数である。したがって は実数である。
(2)
(1)より， とすると である。また だから である。条件式は すなわち である。これは と因数分解できる。したがって求める点は，単位円 上にあり，かつ または を満たす点である。
まず直線 を考える。原点からこの直線までの距離は であり，これはすべての実数 について を満たす。よって は単位円と常に2点で交わる。
次に直線 を考える。原点から までの距離は である。したがって，単位円との交点数は のとき 個， のとき接して 個， のとき 個である。
ただし， と が一致する場合は重複して数えてはいけない。2本の直線は左辺が同じなので，一致するのは のときだけである。この場合は であり，単位円との交点は2個である。
以上より
である。