大阪大学 2026年度理系数学第1問解答・解説

問題

座標平面において， $y = x - x^{3}$ で表される曲線を $C$ とする．実数 $s$ に対して， $C$ 上の点 $(s, s - s^{3})$ における $C$ の接線を $l_{s}$ で表す． $t$ を $0 < t < 1$ をみたす実数とするとき， $l_{0}$ と $l_{1}$ の交点をP， $l_{0}$ と $l_{t}$ の交点をQ， $l_{1}$ と $l_{t}$ の交点をRとし，三角形PQRの面積を $S (t)$ とする．

(1) $S (t)$ を $t$ の式で表せ．

(2) 実数 $t$ が $0 < t < 1$ の範囲を動くとき， $S (t)$ を最大にする $t$ の値と， $S (t)$ の最大値を求めよ．

出典：大阪大学 2026年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

接線 $l_{s}$ を明示し， $l_{0}, l_{1}, l_{t}$ の3本の交点 $P, Q, R$ を座標で求める。 $P, Q$ はともに直線 $y = x$ 上にあるので，面積は行列式で一気に出してもよいが，ここでは $P Q$ を底辺，点 $R$ から直線 $y = x$ までの距離を高さとして計算する。得られた $S (t) = 2 t^{2} (1 - t) / (3 (t + 1))$ を $0 < t < 1$ で微分し，開区間の端で面積が $0$ に近づくことも確認して最大値を決める。

解答

(1)

曲線 $C : y = x - x^{3}$ について $y^{'} = 1 - 3 x^{2}$ である。したがって， $C$ 上の点 $(s, s - s^{3})$ における接線は $y - (s - s^{3}) = (1 - 3 s^{2}) (x - s)$ であり，整理すると $l_{s} : y = (1 - 3 s^{2}) x + 2 s^{3}$ となる。よって $l_{0} : y = x, l_{1} : y = - 2 x + 2, l_{t} : y = (1 - 3 t^{2}) x + 2 t^{3}$ である。

まず $P$ は $l_{0}$ と $l_{1}$ の交点なので $x = - 2 x + 2$ より $P = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ である。次に $Q$ は $l_{0}$ と $l_{t}$ の交点なので $x = (1 - 3 t^{2}) x + 2 t^{3}$ であり， $t > 0$ より $3 t^{2} x = 2 t^{3}, x = \frac{2 t}{3}$ となる。したがって $Q = (\frac{2 t}{3}, \frac{2 t}{3})$ である。さらに $R$ は $l_{1}$ と $l_{t}$ の交点なので $- 2 x + 2 = (1 - 3 t^{2}) x + 2 t^{3}$ より $3 (1 - t^{2}) x = 2 (1 - t^{3})$ である。 $0 < t < 1$ だから $1 - t^{2} \neq = 0$ であり， $x = \frac{2 ( 1 - t ^{3} )}{3 ( 1 - t ^{2} )} = \frac{2 ( t ^{2} + t + 1 )}{3 ( t + 1 )}$ を得る。これを $y = - 2 x + 2$ に代入して $y = \frac{2 ( 1 - t ) ( 2 t + 1 )}{3 ( t + 1 )}$ となる。すなわち $R = (\frac{2 ( t ^{2} + t + 1 )}{3 ( t + 1 )}, \frac{2 ( 1 - t ) ( 2 t + 1 )}{3 ( t + 1 )})$ である。

点 $P, Q$ はともに直線 $y = x$ 上にある。したがって $P Q = 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 t}{3}) = \frac{2 2 ( 1 - t )}{3}$ である。また，点 $R = (X_{R}, Y_{R})$ について $X_{R} - Y_{R} = \frac{2 ( t ^{2} + t + 1 ) - 2 ( 1 - t ) ( 2 t + 1 )}{3 ( t + 1 )} = \frac{2 t ^{2}}{t + 1}$ であるから， $R$ から直線 $y = x$ までの距離は $\frac{∣ X _{R} - Y _{R} ∣}{2} = \frac{2 t ^{2}}{t + 1}$ である。よって三角形 $P QR$ の面積は

S (t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 2 ( 1 - t )}{3} \cdot \frac{2 t ^{2}}{t + 1} = \frac{2 t ^{2} ( 1 - t )}{3 ( t + 1 )}

である。

(2)

$S (t) = \frac{2}{3} \cdot \frac{t ^{2} ( 1 - t )}{t + 1}$ である。微分すると

S^{'} (t) = \frac{2}{3} \cdot \frac{( 2 t - 3 t ^{2} ) ( t + 1 ) - ( t ^{2} - t ^{3} )}{( t + 1 ) ^{2}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t - 2 t ^{2} - 2 t ^{3}}{( t + 1 ) ^{2}} = - \frac{4 t ( t ^{2} + t - 1 )}{3 ( t + 1 ) ^{2}}

である。 $0 < t < 1$ では $t > 0$ ， $(t + 1)^{2} > 0$ なので，符号は $- (t^{2} + t - 1)$ で決まる。 $t^{2} + t - 1 = 0$ の正の解は $α = \frac{5 - 1}{2}$ である。 $0 < t < α$ では $t^{2} + t - 1 < 0$ だから $S^{'} (t) > 0$ ， $α < t < 1$ では $S^{'} (t) < 0$ である。したがって $S (t)$ は $t = α$ で最大となる。

最大値を求める。 $α^{2} + α = 1$ より $1 - α = α^{2}$ ，また $1 + α = 1/ α$ である。したがって

S (α) = \frac{2 α ^{2} ( 1 - α )}{3 ( 1 + α )} = \frac{2 α ^{4}}{3 ( 1 + α )} = \frac{2 α ^{5}}{3}

である。 $α = (5 - 1) /2$ を代入して整理すると $\frac{2 α ^{5}}{3} = \frac{5 5 - 11}{3}$ となる。よって求める $t$ と最大値は

t = \frac{5 - 1}{2}, S_{m a x} = \frac{5 5 - 11}{3}

である。

大阪大学 2026年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

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理系数学第1問