大阪大学 2022年度理系数学第5問解答・解説

問題

座標平面において， $t$ を媒介変数として

x = e^{t} cos t + e^{π}, y = e^{t} sin t (0 ≦ t ≦ π)

で表される曲線を $C$ とする．曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

出典：大阪大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

$0 ≦ t ≦ π$ では $y = e^{t} sin t ≧ 0$ であり，端点はともに $x$ 軸上にある。曲線は右端 $(e^{π} + 1, 0)$ から左端 $(0, 0)$ へ進むので，面積は符号に注意して $- \int y d x$ で求める。 $d x / d t = e^{t} (cos t - sin t)$ を代入し， $sin^{2} t - sin t cos t$ を2倍角で表して積分する。最後は $e^{2 t} cos 2 t$ ， $e^{2 t} sin 2 t$ の定積分を端点で評価する。

解答

曲線は $x = e^{t} cos t + e^{π}, y = e^{t} sin t$ で表される。 $0 ≦ t ≦ π$ では $y = e^{t} sin t ≧ 0$ である。また端点は $t = 0 のとき (e^{π} + 1, 0), t = π のとき (0, 0)$ である。したがって曲線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を $S$ とすると，曲線が右から左へ進むことに注意して $S = - \int_{0}^{π} y \frac{d x}{d t} d t$ である。

ここで $\frac{d x}{d t} = e^{t} cos t - e^{t} sin t = e^{t} (cos t - sin t)$ だから

S = - \int_{0}^{π} e^{t} sin t \cdot e^{t} (cos t - sin t) d t = \int_{0}^{π} e^{2 t} (sin^{2} t - sin t cos t) d t .

2倍角の公式より $sin^{2} t - sin t cos t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos 2 t - \frac{1}{2} sin 2 t$ である。したがって

S = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} e^{2 t} d t - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} e^{2 t} cos 2 t d t - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} e^{2 t} sin 2 t d t

である。

それぞれ $\int_{0}^{π} e^{2 t} d t = \frac{e ^{2 π} - 1}{2},$ また $\int e^{2 t} cos 2 t d t = \frac{e ^{2 t} ( c o s 2 t + s i n 2 t )}{4},$ $\int e^{2 t} sin 2 t d t = \frac{e ^{2 t} ( s i n 2 t - c o s 2 t )}{4}$ である。よって

\int_{0}^{π} e^{2 t} cos 2 t d t = \frac{e ^{2 π} - 1}{4}, \int_{0}^{π} e^{2 t} sin 2 t d t = - \frac{e ^{2 π} - 1}{4}

である。

これらを代入すると

S = \frac{1}{2} \cdot \frac{e ^{2 π} - 1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{e ^{2 π} - 1}{4} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e ^{2 π} - 1}{4}) = \frac{e ^{2 π} - 1}{4} .

したがって求める面積は $\frac{e ^{2 π} - 1}{4}$ である。

別解。面積公式を $S = \int x d y$ で使ってもよい。閉曲線を $x$ 軸上の原点から右端へ進み，その後曲線を逆向きに戻る向きで考えると， $x$ 軸上では $d y = 0$ であるから $S = \int_{C} x d y$ となる。ここで $d y / d t = e^{t} (sin t + cos t)$ であり，向きを合わせて計算すると同じく $S = \frac{e ^{2 π} - 1}{4}$ を得る。符号の扱いは主解の $- \int y d x$ の方が直接確認しやすい。

大阪大学 2022年度理系数学 第5問

問題

方針

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理系数学第5問