問題
正の実数に対し，座標平面上の2点とを考える．がの範囲を動くとき，座標平面内で線分が通過する部分を図示せよ．
出典：大阪大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
固定した について線分 を ， と表す。通過領域を調べるには， を固定して，条件 と を満たす の範囲で の値域を求める。 は上に凸の二次関数で，頂点 と端点の大小により， で上下端が切り替わる。最後に境界線・曲線を明示して図示できる形にまとめる。
解答
固定した に対し，点 を結ぶ線分の方程式は である。したがって点 が通過部分に入ることは，ある が存在して を満たすことと同値である。 を固定して考える。 の範囲は，全体として である。
まず のときは，任意の について が成り立つ。よって の範囲は である。関数 は上に凸の二次関数で，頂点は である。 では頂点が 側にあるので， は で増加する。したがって である。 では頂点が の範囲に入るので，最大値は頂点で である。最小値は端点 または の小さい方で決まる。端点値は であり，これらは で等しい。よって である。
次に のときは，条件 より である。この範囲では頂点 は 以下にあるので， は減少する。したがって最大値は ，最小値は であり， である。
以上より，通過部分は次の領域である。
境界は，直線 曲線 および 軸で構成される。
別解。上側の境界は，直線群 の包絡線として求められる。 を変えたとき同じ で最大になる条件は であり， である。これを代入すると包絡線 が得られる。ただし より の範囲だけで有効である。範囲外では上端は端点 または の直線で決まるため，主解の4つの場合分けと同じ領域になる。