問題
を正の実数とする．複素数平面上で，点が点を中心とする半径の円周上を動くとき，
を満たす点が描く図形を求めよ．
出典：大阪大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
方程式 を について解き， として円の条件 に代入する。これにより という，2点 と からの距離比が一定の軌跡になる。 のときは距離が等しい垂直二等分線，それ以外はアポロニウスの円として平方完成する。 はもとの方程式を満たさないが，得られる軌跡にも含まれないことを確認する。
解答
与えられた関係式 を変形すると である。もし なら左辺は0，右辺は1となり矛盾する。したがって であり， と表せる。
点 は中心 ，半径 の円周上を動くので である。ここに を代入すると である。左辺を整理して より を得る。 とおく。 のとき，両辺を2乗して である。これを整理すると である。 なので平方完成して
となる。したがって， のときの軌跡はこの円である。 のときは である。これは点 と点 から等距離にある点の集合なので，線分 の垂直二等分線，すなわち である。
以上より，求める図形は
である。ただし である。