大阪大学 2020年度理系数学第4問解答・解説

問題

$t$ を正の実数とする． $x y$ 平面において，連立不等式

x ≧ 0, y ≧ 0, x y ≦ 1, x + y ≦ t

の表す領域の面積を $S (t)$ とおく．極限 $t \to \infty lim (S (t) - 2 lo g t)$ を求めよ．

出典：大阪大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

$x y ≦ 1$ は双曲線の下側、 $x + y ≦ t$ は直線の下側を表す。 $t \to \infty$ の極限だけが必要なので $t > 2$ として、直線 $y = t - x$ と双曲線 $y = 1/ x$ の交点を $α, β$ で表す。区間 $[0, α]$ 、 $[α, β]$ 、 $[β, t]$ に分けて面積を積分し、 $α β = 1$ 、 $α + β = t$ を用いて式を簡単にする。最後は $α t \to 1$ を確認して極限を出す。

解答

$t > 2$ とする。直線 $x + y = t$ と双曲線 $x y = 1$ の交点の $x$ 座標は $x (t - x) = 1$ すなわち $x^{2} - t x + 1 = 0$ の2解である。小さい方を $α$ 、大きい方を $β$ とすると $α = \frac{t - t ^{2} - 4}{2}, β = \frac{t + t ^{2} - 4}{2}$ であり、 $α + β = t, α β = 1$ が成り立つ。 $0 ≦ x ≦ t$ において、領域は $0 ≦ y ≦ min (t - x, \frac{1}{x})$ で表される。ただし $x = 0$ では $x y ≦ 1$ は制限にならない。 $0 ≦ x ≦ α$ と $β ≦ x ≦ t$ では直線の方が下、 $α ≦ x ≦ β$ では双曲線の方が下である。したがって面積 $S (t)$ は

S (t) = \int_{0}^{α} (t - x) d x + \int_{α}^{β} \frac{1}{x} d x + \int_{β}^{t} (t - x) d x

である。

各項を計算する。 $\int_{0}^{α} (t - x) d x = t α - \frac{α ^{2}}{2}$ また $\int_{β}^{t} (t - x) d x = \frac{( t - β ) ^{2}}{2} = \frac{α ^{2}}{2}$ である。ここで $t - β = α$ を用いた。さらに $\int_{α}^{β} \frac{1}{x} d x = lo g \frac{β}{α}$ である。よって $S (t) = t α + lo g \frac{β}{α}$ である。 $α β = 1$ より $β = 1/ α$ だから $lo g \frac{β}{α} = lo g \frac{1}{α ^{2}} = - 2 lo g α$ である。また $t α = (α + β) α = α^{2} + 1$ なので $S (t) = 1 + α^{2} - 2 lo g α$ となる。したがって $S (t) - 2 lo g t = 1 + α^{2} - 2 lo g (α t)$ である。

最後に $t \to \infty$ のとき、 $α = \frac{t - t ^{2} - 4}{2} = \frac{2}{t + t ^{2} - 4}$ より $α \to 0, α t = \frac{2 t}{t + t ^{2} - 4} \to 1$ である。ゆえに $lim_{t \to \infty} {S (t) - 2 lo g t} = 1 + 0 - 2 lo g 1 = 1$ である。

大阪大学 2020年度理系数学 第4問

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理系数学第4問