大阪大学 2020年度理系数学第3問解答・解説

問題

$n$ を2以上の自然数とする．三角形ABCにおいて，辺ABの長さを $c$ ，辺CAの長さを $b$ で表す． $∠ A C B = n ∠ A B C$ であるとき， $c < nb$ を示せ．

出典：大阪大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

正弦定理により $c / b = sin C / sin B = sin (n B) / sin B$ とする。あとは $0 < B$ かつ $n B = C < π$ という角の範囲で、 $sin (n B) < n sin B$ を示せばよい。主解では加法定理を使って $sin k B < k sin B$ を帰納的に示し、厳密な不等号が出る条件も確認する。別解として、 $sin x / x$ が $0 < x < π$ で減少することから一気に辺の比を評価する方法も示す。

解答

三角形ABCで、辺 $A B = c$ は角Cの対辺、辺 $C A = b$ は角Bの対辺である。正弦定理より $\frac{c}{b} = \frac{s i n C}{s i n B} = \frac{s i n ( n B )}{s i n B}$ である。したがって $sin (n B) < n sin B$ を示せば十分である。

まず、 $n ≧ 2$ かつ $C = n B$ は三角形の内角だから $0 < B < n B < π$ である。特に、 $1 ≦ k ≦ n - 1$ なら $0 < k B < π$ であり、 $sin k B > 0$ である。 $k = 1, 2, \dots, n$ に対して $sin (k B) ≦ k sin B$ を考える。 $k = 1$ では等号で成り立つ。いま $1 ≦ k ≦ n - 1$ で $sin (k B) ≦ k sin B$ が成り立つとする。加法定理より

sin ((k + 1) B) = sin (k B) cos B + cos (k B) sin B < sin (k B) + sin B ≦ k sin B + sin B = (k + 1) sin B

である。ここで、 $sin (k B) > 0$ かつ $B > 0$ なので $cos B < 1$ であり、さらに $cos (k B) ≦ 1$ を用いた。

よって $k ≧ 2$ では $sin (k B) < k sin B$ が成り立つ。特に $k = n$ として $sin (n B) < n sin B$ である。したがって $\frac{c}{b} = \frac{s i n ( n B )}{s i n B} < n$ となり、 $b > 0$ より $c < nb$ を得る。

別解。

関数 $h (x) = \frac{s i n x}{x} (0 < x < π)$ を考える。微分すると $h^{'} (x) = \frac{x c o s x - s i n x}{x ^{2}}$ である。分子を $q (x) = x cos x - sin x$ とおくと $q^{'} (x) = cos x - x sin x - cos x = - x sin x < 0$ であり、 $q (0) = 0$ と見れば $0 < x < π$ で $q (x) < 0$ である。したがって $h^{'} (x) < 0$ となり、 $sin x / x$ は $(0, π)$ で減少する。 $0 < B < n B < π$ だから $\frac{s i n ( n B )}{n B} < \frac{s i n B}{B}$ である。両辺に $n$ を掛けて $\frac{s i n ( n B )}{s i n B} < n$ を得るので、正弦定理から同じく $c < nb$ が従う。

大阪大学 2020年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

別解。

大阪大学 2020年度
理系数学第3問